Đến nội dung

Hình ảnh

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
anomynous98

anomynous98

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3

CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1 



#2
Kira Tatsuya

Kira Tatsuya

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3

CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1 

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1\Leftrightarrow 3-\sum \left ( \frac{2ab^2}{a+2b^2} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2}\leq 1$

Mặt khác :$\frac{ab^2}{a+2b^2}\leq \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}\leq\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\\\Rightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2}\leq \frac{1}{3}\left ( \sum \sqrt[3]{a^2b^2} \right )\leq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{ab+ab+1}{3} \right )\leq\frac{1}{3}\left ( \frac{3+2\left ( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right )}{3} \right )\leq \frac{1}{3}.3=1$

 

Vậy ta có đpcm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 15-02-2016 - 21:59

----HIKKIGAYA HACHIMAN----

"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"


#3
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3

CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1 

BĐT $<=> \sum \frac{a^4}{a^3+2a^2b^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2} \geq 1 $

Sau đó đổi biến $p,q,r$, ta cần chứng minh

$9r \geq 27q-2q^2-54 $

mà ta có $9r \geq 12q-27$ theo Schur 

Ta cần chứng minh

$12q-27 \geq 27q-2q^2-54 <=> q \geq 3 $ ( đúng)



#4
ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết

Một cách khác

$\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{3}+2\sum a^{2}b^{2}}\geq 1
\Leftrightarrow \sum a^{4}\geq \sum a^{3}$
Để ý rằng:
%(\sum a^{4})(\sum a^{2})\geq (\sum a^{3})^{2}%
Lại có:
$\sum a^{3}\geq \sum a^{2}$
Từ đó ta có đpcm

"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#5
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

$bdt \Leftrightarrow \sum ( a- \frac{a}{a+2b^2} ) \leq 2 \Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2} \leq 1 $

$a+2b^2 = a+b^2 +b^2 \ge 3b\sqrt[3]{ab} \Rightarrow 3VT \leq \sum \sqrt[3]{a^2b^2} $

$27 \ge (a+b+c)(b+c+a)(ab+bc+ca) \ge ( \sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})^3 $

$\Rightarrow 3VT \leq 3$

Nên ta được dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 15-02-2016 - 22:13


#6
anomynous98

anomynous98

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

cảm ơn mn, ai hộ mình bài này được không 

cho x^4 + 16y^4 +2(2xy-5)^2=41

Min, Mã P= xy - $\frac{3}{x^2+4y^2+3}$

mình thế xy theo x^2+4y^2 nhưng không biết tìm khoảng  x^2+4y^2






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh