cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1
$\sum \frac{a^2}{a+2b^2}\geq 1\Leftrightarrow 3-\sum \left ( \frac{2ab^2}{a+2b^2} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2}\leq 1$
Mặt khác :$\frac{ab^2}{a+2b^2}\leq \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}\leq\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\\\Rightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2}\leq \frac{1}{3}\left ( \sum \sqrt[3]{a^2b^2} \right )\leq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{ab+ab+1}{3} \right )\leq\frac{1}{3}\left ( \frac{3+2\left ( \frac{(a+b+c)^2}{3} \right )}{3} \right )\leq \frac{1}{3}.3=1$
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 15-02-2016 - 21:59
----HIKKIGAYA HACHIMAN----
"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
CMR $\frac{a^2}{a+2b^2}$ + $\frac{b^2}{b+2c^2}$ + $\frac{c^2}{c+2a^2}$ $\geq$ 1
BĐT $<=> \sum \frac{a^4}{a^3+2a^2b^2} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^3+b^3+c^3+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2} \geq 1 $
Sau đó đổi biến $p,q,r$, ta cần chứng minh
$9r \geq 27q-2q^2-54 $
mà ta có $9r \geq 12q-27$ theo Schur
Ta cần chứng minh
$12q-27 \geq 27q-2q^2-54 <=> q \geq 3 $ ( đúng)
Một cách khác
$bdt \Leftrightarrow \sum ( a- \frac{a}{a+2b^2} ) \leq 2 \Leftrightarrow \sum \frac{ab^2}{a+2b^2} \leq 1 $
$a+2b^2 = a+b^2 +b^2 \ge 3b\sqrt[3]{ab} \Rightarrow 3VT \leq \sum \sqrt[3]{a^2b^2} $
$27 \ge (a+b+c)(b+c+a)(ab+bc+ca) \ge ( \sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})^3 $
$\Rightarrow 3VT \leq 3$
Nên ta được dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 15-02-2016 - 22:13
cảm ơn mn, ai hộ mình bài này được không
cho x^4 + 16y^4 +2(2xy-5)^2=41
Min, Mã P= xy - $\frac{3}{x^2+4y^2+3}$
mình thế xy theo x^2+4y^2 nhưng không biết tìm khoảng x^2+4y^2
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh