Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì qua B,C cắt AC,AB tại E,F...


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-02-2016 - 11:14

(*) Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì qua B,C cắt AC,AB tại E,F. BE cắt CE tại D. Từ F kẻ đường thẳng song song với AD cắt BE tại L. (LEF) cắt EC tại H. Chứng minh rằng EH đi qua một điểm cố định khi BC;F cố định và A thay đổi trên BF.

Hình gửi kèm

  • Trung điểm trong tứ giác nội tiếp.png


#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 16-02-2016 - 15:59

Đầu tiên cho $A$ thuộc trung trực $BC$ ta suy ra cái điểm cố định phải nằm ở đường thẳng đối xứng với đường cao đỉnh $F$ tam giác $FBC$ qua $O$. Áp dụng định lý Pascal cho $BBFCCE$ ta suy ra $AD$ đi qua giao điểm hai tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$. Ngoài ra bằng một tính toán đơn giản ta có $\widehat{HEC}=\widehat{LFB}=\widehat{BAD}$ nên nếu cho $A$ dần đến $F$ thì $EH$ sẽ dần thành trung tuyến tam giác $FBC$. Và từ đây ta đi đến lời giải:

 

Dựng hình bình hành $FBGC$. Gọi $M$ là giao điểm của $EG$ và $FC$. $N$ là điểm thuộc $FC$ sao cho $EN || AB$

Hiển nhiên $\Delta ENC \sim \Delta AEB$. Áp dụng định lý Thales: $\dfrac{NM}{MC}=\dfrac{EM}{MG}=\dfrac{ED}{DB}$

Do đó $\Delta MEC \sim \Delta DAB$ nên $\widehat{GEC}=\widehat{DAB}=\widehat{BFL}=\widehat{CEH}$

Do $F,B,C$ cố định nên $G$ cố định. Do đó $EH$ luôn đi qua $G$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 16-02-2016 - 21:44

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-02-2016 - 19:28

Lời giải của anh dogsteven khá hay, song nếu đảo lại ta có thể tạo ra bài toán khó sau:

Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì qua B,C cắt AC,AB tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm BC,EF. D là giao của BE,CF. Chứng minh rằng AD là tiếp tuyến với (DMN) tại D.

Hình gửi kèm

  • G 4 2009.jpg


#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 16-02-2016 - 21:01

Hai bài này tương tự nhau, chỉ có điều thay cái $EH$ thành cái $MN$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-02-2016 - 21:06

Hai bài này tương tự nhau, chỉ có điều thay cái $EH$ thành cái $MN$

Đúng là em chế lại bài đầu tiên từ bài này thật nhưng nếu giải kiểu của anh sẽ phải dùng đến điểm trùng làm mất đi sự tự nhiên.

Bài này có một cách giải bằng phương pháp gọi tâm rồi chứng minh song song, nếu có thời gian em sẽ post lên sau.



#6 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 19-02-2016 - 18:03

Lời giải của anh dogsteven khá hay, song nếu đảo lại ta có thể tạo ra bài toán khó sau:

Cho tam giác ABC. Một đường tròn bất kì qua B,C cắt AC,AB tại E,F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm BC,EF. D là giao của BE,CF. Chứng minh rằng AD là tiếp tuyến với (DMN) tại D.

Bài này là một bổ đề rất quen thuộc với tứ giác nội tiếp rồi. Có thể dùng tỷ số kép hoặc cách dựng thêm hình bình hành 

Mình sẽ trình bày cách sử dụng tỷ số kép:

 

Bỏ qua trường hợp đơn giản tam giác $ABC$ cân tại $A$

Gọi $P$ là trung điểm của $AD$. Gọi $K,H$ lần lượt là giao điểm của $AD$ với $EF,BC$

Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $BC$

Theo đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,P$ thẳng hàng

Do đó ta cần chứng minh: $PA^2=PD^2=PN.PM$

Ta có: $(AD,KH)=-1$ nên theo hệ thức $Newton$ thì $PA^2=PK.PH$ do đó chỉ cần chứng minh $PM.PN=PH.PK$ hay $KNMH$ nội tiếp

Lại có: $(GH,BC)=-1$ và $(GK,FE)=-1$ nên theo hệ thức $Maclaurin$ thì

$GH.GM=GB.GC=GF.GE=GK.GN \Rightarrow HKNM$ nội tiếp  

Kết hợp các điều trên ta có điều phải chứng minh.

 

 

Hình gửi kèm

  • Untitled.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 19-02-2016 - 18:06

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton


VMF's Marathon Hình học Olympic


#7 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-05-2018 - 11:25

Bài này là một bổ đề rất quen thuộc với tứ giác nội tiếp rồi. Có thể dùng tỷ số kép hoặc cách dựng thêm hình bình hành 

Mình sẽ trình bày cách sử dụng tỷ số kép:

 

Bỏ qua trường hợp đơn giản tam giác $ABC$ cân tại $A$

Gọi $P$ là trung điểm của $AD$. Gọi $K,H$ lần lượt là giao điểm của $AD$ với $EF,BC$

Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $BC$

Theo đường thẳng $Gauss$ thì $M,N,P$ thẳng hàng

Do đó ta cần chứng minh: $PA^2=PD^2=PN.PM$

Ta có: $(AD,KH)=-1$ nên theo hệ thức $Newton$ thì $PA^2=PK.PH$ do đó chỉ cần chứng minh $PM.PN=PH.PK$ hay $KNMH$ nội tiếp

Lại có: $(GH,BC)=-1$ và $(GK,FE)=-1$ nên theo hệ thức $Maclaurin$ thì

$GH.GM=GB.GC=GF.GE=GK.GN \Rightarrow HKNM$ nội tiếp  

Kết hợp các điều trên ta có điều phải chứng minh.

Bài này là IMO Shortlish 2009



#8 AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên PBC , Vinh, Nghệ An.
  • Sở thích:pp

Đã gửi 02-07-2018 - 10:53

bài đơn giản


        AQ02

                                 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh