Chủ đề này có 8 trả lời

[Psycho]

Bài 1: Cho 3 số a,b,c đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện sau

1, a+b+c=1

2, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{2}$

Hỏi c có thể nhận GTLN là bao nhiêu ?

 

Bài 2:Cho x,y,z>0. Tìm GTNN của

P=$\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz} + \frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$

 

Bài 3 : Cho x,y,z,t >0, x+y+z+t=2. Tìm GTNN của 

A=  $\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

 

Bài 4: Tìm GTNN của 

P=$\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Với $x,y\in \mathbb{R}; x,y> 1$

 

 

[meomunsociu]

Bài 1: Cho 3 số a,b,c đồng thời thỏa mãn 2 điều kiện sau

1, a+b+c=1

2, $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{2}$

Hỏi c có thể nhận GTLN là bao nhiêu ?

Từ gt $\Rightarrow b+c=1-a;b^2+c^2=\frac{1}{2}-a^2$

Vì: $b^2+c^2\geq \frac{(b+c)^2}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}-a^2\geq \frac{(1-a)^2}{2}$

$\Leftrightarrow 1-2a^2\geq 1-2a+a^2$

$\Leftrightarrow 3a^2-2a\leq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$

Vậy max a=$\frac{2}{3}$

[quangnghia]

Bài 2:Cho x,y,z>0. Tìm GTNN của

P=$\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz} + \frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$

Ta có $\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Tương tự ta có $\frac{y^{2}}{y^{2}+2xz}\geq \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

$\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}\geq \frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức ta có $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}\geq \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\geq 1$

[quangnghia]

Bài 4: Tìm GTNN của 

P=$\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

Với $x,y\in \mathbb{R}; x,y> 1$

Ta có $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}$

$= \frac{x^{2}(x-1)+y^{2}(y-1)}{(x-1)(y-1)}=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$

Ta có $\frac{x^{2}}{y-1}+4(y-1)\geq 4x$

$\frac{y^{2}}{x-1}+4(x-1)\geq 4y$

Cộng theo vế ta có $\sum \frac{x^{2}}{y-1}\geq 8$

[quangnghia]

Bài 3 : Cho x,y,z,t >0, x+y+z+t=2. Tìm GTNN của 

A=  $\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Ta có $4A=\frac{(x+y+z+t)^{2}(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

$\geq \frac{4(x+y+z)t(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^{2}(x+y)}{xyz}\geq \frac{4.4(x+y)z(x+y)}{xyz}$

$\geq \frac{16(x+y)^{2}}{xy}\geq \frac{16.4xy}{xy}\geq 64$

$\Rightarrow A\geq 16$

[Psycho]

$\frac{(x+y+z+t)^{2}(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

$\geq \frac{4(x+y+z)t(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Vì sao ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Psycho: 17-02-2016 - 22:28

[tquangmh]

Bởi vì : theo Cauchy thì $x+y+z+t=(x+y+z)+t\geq 2\sqrt{(x+y+z)t}\Rightarrow [(x+y+z)+t]^{2}=(x+y+z+t)^{2}\geq 4(x+y+z)t$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 17-02-2016 - 22:56

[hoilamchi]

Ta có $4A=\frac{(x+y+z+t)^{2}(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

$\geq \frac{4(x+y+z)t(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^{2}(x+y)}{xyz}\geq \frac{4.4(x+y)z(x+y)}{xyz}$

$\geq \frac{16(x+y)^{2}}{xy}\geq \frac{16.4xy}{xy}\geq 64$

$\Rightarrow A\geq 16$

 Anh cho em hỏi ý tưởng của anh như thế nào để có thể nhân 4 vào rồi áp dụng cô si được không ạ

[tquangmh]

Mình ko chắc anh quangnghia có ý tưởng như thế nào, nhưng mà theo mình nhân thêm 4 là gồm các nguyên do : 

1/ Thấy đề bài có x + y + y và x + y, mà dữ kiện lại có : x + y + z + t = 2 thì ta nhân x + y + z + t vào. (Thử xem có đc gì ko, nếu ko đc thì thôi).

2/ Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì : $x+y+z+t\geq \sqrt{xyzt}$ Mà căn xyzt ko thể thu gọn với mẫu nên cần phải bình phương hai vế lên từ đó ta có đc số 4.

3/ Theo mình đây là 1 dạng bài chứ ko phải là 1 bài BĐT lạ nào nữa.

 

(Nếu có gì sai thì mong các bạn góp ý )