Chủ đề này có 1 trả lời

[phamquangnhatanh]

Cho $\bigtriangleup ABC$ có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H ( $E \in AC, F \in AB$ ).

1. Chứng minh rằng AE . AC = AF . AB

2. Cho$\widehat{BAC}=45^{\circ}.$ Tính $\frac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}$

3. AH cắt BC tại D. Kẻ đường thằng qua D và song song với EF cắt AB tại M và CF tại N. Chứng minh rằng D là trung điểm của MN.

[quangnghia]

 

Cho $\bigtriangleup ABC$ có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H ( $E \in AC, F \in AB$ ).

 

1. Chứng minh rằng AE . AC = AF . AB

 

2. Cho$\widehat{BAC}=45^{\circ}.$ Tính $\frac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}$

 

3. AH cắt BC tại D. Kẻ đường thằng qua D và song song với EF cắt AB tại M và CF tại N. Chứng minh rằng D là trung điểm của MN.

 

1) Tứ giác BFEC nội tiếp nên $\Rightarrow \widehat{FBE}=\widehat{ECH}$

nên $\Delta AEB\sim \Delta AFC$ (g,g)

$\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB$

2) Do $\widehat{BAC}=90^{o}$ 

$\Rightarrow AC=AF.\sqrt{2}$

Vậy $\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\frac{AF}{AC})^{2}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{S_{AFE}}{S_{BFEC}}=1$

3) Ta có $\widehat{DNF}=\widehat{NFE},\widehat{NFE}=\widehat{HAC},\widehat{HAC}=\widehat{DFN}$

$\Rightarrow \widehat{DNF}=\widehat{DFN}$

$\Rightarrow \Delta FDN$ cân tại D $\Rightarrow FD=DN$

Ta có $\widehat{BMD}=\widehat{AFE}, \widehat{AFE}=\widehat{ACB}, \widehat{ACB}=\widehat{BFD}$

$\Rightarrow \widehat{BMD}=\widehat{MFD}$

$\Rightarrow \Delta MDF$ cân tại D

$\Rightarrow MF=FD$

Vậy D là trung điểm MN