2 replies to this topic

[daotuanminh]

Cho $n$ là số tự nhiên lẻ sao cho $\frac{n^{2}-1}{3}$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

CMR: $n$ là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.

[I Love MC]

Hello 
Lời giải : 
Đặt $\frac{n^2-1}{3}=a(a-1)$ trong đó $a \in \mathbb{N}$ 
Suy ra $n^2-1=3a(a_1)$ 
$\Rightarrow 4n^2-4=3(4a^2+4a)$ 
$\Rightarrow 4n^2-1=3(2a+1)^2$ 
$\Rightarrow (2n-1)(2n+1)=3(2a+1)^2$ 
Cho $gcd(2n-1,2n+1)=d \Rightarrow d|2$ 
$2n-1 \not \vdots 2 \Rightarrow d=1$ 
 $\Rightarrow$ TH1: $2n-1=3x^2,2n+1=y^2$ trong đó $x,y \in \mathbb{N}$ và $xy=2a+1$ 
Khi đó $3x^2+2=y^2$ suy ra $y^2-2 \vdots 3$ vô lí vì một số chính phương chia $3$ thì dư $0,1$ 
TH2: $2n-1=x^2,2n+1=3y^2$ 
Vì $2n-1=x^2 \Rightarrow x$ lẻ ~~> $x=2k+1$ 
$2n-1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ 
$\Rightarrow n=2k^2+2k+1=k^2+(k+1)^2$ là tổng của 2 scp liên tiếp 
Hoàn tất chứng minh.

Edited by I Love MC, 18-02-2016 - 12:03.

[ngochapid]

Hello 
Lời giải : 
Đặt $\frac{n^2-1}{3}=a(a-1)$ trong đó $a \in \mathbb{N}$ 
Suy ra $n^2-1=3a(a_1)$ 
$\Rightarrow 4n^2-4=3(4a^2$ $+$ $4a)$ 
$\Rightarrow 4n^2-1=3(2a+1)^2$ 
$\Rightarrow (2n-1)(2n+1)=3(2a+1)^2$ 
Cho $gcd(2n-1,2n+1)=d \Rightarrow d|2$ 
$2n-1 \not \vdots 2 \Rightarrow d=1$ 
 $\Rightarrow$ TH1: $2n-1=3x^2,2n+1=y^2$ trong đó $x,y \in \mathbb{N}$ và $xy=2a+1$ 
Khi đó $3x^2+2=y^2$ suy ra $y^2-2 \vdots 3$ vô lí vì một số chính phương chia $3$ thì dư $0,1$ 
TH2: $2n-1=x^2,2n+1=3y^2$ 
Vì $2n-1=x^2 \Rightarrow x$ lẻ ~~> $x=2k+1$ 
$2n-1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1$ 
$\Rightarrow n=2k^2+2k+1=k^2+(k+1)^2$ là tổng của 2 scp liên tiếp 
Hoàn tất chứng minh.

đây phải là dấu trừ chứ?