Đến nội dung

Hình ảnh

Xét dãy số $(y_{n})$ với $y_{n}=\sum ^{n}_{i=1}\frac{x_{i}}{x_{i+1}-1}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Math Hero

Math Hero

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Cho $(x_{n})$ $\left\{\begin{matrix} x_{1}=a> 1 & & \\ 2010x_{n+1}=x_{n}^{^{2}}+2009x_{n} & & \end{matrix}\right.$ với $n\epsilon N^{*}$

Xét dãy số $(y_{n})$ với $y_{n}=\sum ^{n}_{i=1}\frac{x_{i}}{x_{i+1}-1}$. 

 

Tìm lim $y_{n}$



#2
lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Một bài toán khá cơ bản.

Dùng quy nạp, ta chứng minh được:$x_{n}> 1$

Ta có:$2010(x_{n+1}-1)=(x_{n}-1)(x_{n}+2010)\Leftrightarrow \frac{x_{n+1}-1}{x_{n}-1}=\frac{x_{n}}{2010}+1\Leftrightarrow \frac{x_{n}}{x_{n+1}-1}=2010(\frac{1}{x_{n}-1}-\frac{1}{x_{x+1}-1})$

Suy ra:$y_{n}=2010(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1})$

Dễ dàng ta thấy $x_{n}$ là dãy tăng.

Giả sử $x_{n}$ bị chặn trên $\Rightarrow$ $x_{n}$ có giới hạn hữu han.

Đặt lim $x_{n}$ =x (x>1)

Lấy lim hai vế của đề, ta suy ra điều vô lý.

Vậy$lim x_{n}=+\infty\Rightarrow limy_{n}=\frac{2010}{a-1}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh