Đến nội dung


Hình ảnh

Cho tam giác ABC. L là điểm Lemoire...


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-02-2016 - 20:12

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $L$ là điểm Lemoire.$M$ là trung điểm $BC$.$AM$ cắt $(O)$ tại $N$.$NH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). $K$ đối xứng với $H$ qua $N$. $AL$ cắt $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng: $LM//KT$

Hình gửi kèm

  • Bổ đề Lemoire.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 19-02-2016 - 20:21


#2 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 239 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 19-02-2016 - 21:36

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $L$ là điểm Lemoire.$M$ là trung điểm $BC$.$AM$ cắt $(O)$ tại $N$.$NH$ vuông góc với $BC$ ($H$ thuộc $BC$). $K$ đối xứng với $H$ qua $N$. $AL$ cắt $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng: $LM//KT$

Gọi $X$ là trung điểm của $TH$. $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. $R$ là trung điểm của $AD$. $S$ là hình chiếu của $T$ trên $BC$

Hai tính chất sau là khá quen thuộc với điểm $Lemoine$ mình chỉ nêu ra và không chứng minh

1. $L,R,M$ thẳng hàng

2. $TN \parallel BC \Rightarrow $ tam giác $TNH$ vuông tại $N$, $TSHN$ là hình chữ nhật

Ta có: $NX \parallel TK$ (đường trung bình) nên chỉ cần chứng minh $NX \parallel MR$

Để ý $NT \parallel BC$ và $NH \parallel AD$(cùng vuông góc với $BC$)

Lại có: $\overrightarrow{NX}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NT}+\overrightarrow{NH}\right)$ và $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DR}=\overrightarrow{MD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DA}$

Do đó để chứng minh $NX \parallel MR$ thì ta chỉ cần chứng minh: $\dfrac{2MD}{NT}=\dfrac{DA}{NH}$

Áp dụng định lý $Thales$ thì $\dfrac{DA}{NH}=\dfrac{MD}{MH}$

Do đó chỉ cần chứng minh $NT=2MH \Leftrightarrow HS=2HM \Leftrightarrow MS=MH$ (đúng vì $BTNC$ là hình thang cân)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Hình gửi kèm

  • Untitled.jpg

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-02-2016 - 21:46

Ồ đúng là tính chất (1) mình không biết thật! Nhưng nếu vậy thì đâu cần dài dòng nhỉ!

Gọi $S$ là hình chiếu của $T$ lên $BC$. Ta chứng minh: $NS//MR$. Do $M$ là trung điểm $BC$ nên đường thẳng qua $M$ vuông góc với $TN$ sẽ đi qua trung điểm $TN$. Gọi điểm đó là $G$ thì tam giác $HGN$ đồng dạng với tam giác $AMD$

$\Rightarrow \frac {TN}{TS}=\frac {MD}{DA}$ hay ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 22-05-2016 - 10:45


#4 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 239 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 19-02-2016 - 22:23

Ồ đúng là tính chất (1) mình không biết thật! Nhưng nếu vậy thì đâu cần dài dòng nhỉ!

Gọi $S$ là hình chiếu của $T$ lên $BC$. Ta chứng minh: $NS//MR$. Do $M$ là trung điểm $BC$ nên đường thẳng qua $M$ vuông góc với $TN$ sẽ đi qua trung điểm $TN$. Gọi điểm đó là $G$ thì tam giác $HGN$ đồng dạng với tam giác $AMD \Rightarrow \dfrac{TN}{TS} = \dfrac{MD}{DA}$ hay ta có điều phải chứng minh.

Công cụ vectơ chẳng qua là để nhìn cho gọn thôi. Còn đoạn chứng minh tỉ số thì khá đơn giản rồi . Tính chất $1$ khá nổi tiếng bạn có thể xem trong các tài liệu viết về điểm $Lemoine$ và các đường đẳng giác. Chứng minh bằng hình học thuần túy cho cái này thì cũng không phải là ngắn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 22-05-2016 - 10:46

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#5 Namichan

Namichan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 12 Bài viết

Đã gửi 19-02-2016 - 22:41

Công cụ vectơ chẳng qua là để nhìn cho gọn thôi. Còn đoạn chứng minh tỉ số thì khá đơn giản rồi . Tính chất $1$ khá nổi tiếng bạn có thể xem trong các tài liệu viết về điểm $Lemoine$ và các đường đẳng giác. Chứng minh bằng hình học thuần túy cho cái này thì cũng không phải là ngắn.

Bạn có thể đăng tài liệu hay gửi link về điểm Lemoine được không? Mình cám ơn trước :D  :icon6:  :icon6:






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh