Chủ đề này có 2 trả lời

[Momoko Suzuka]

Bài 1:Cho biết x,y,z là các số nguyên sao cho (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z . CMR: x+y+z là bội số của 27.
Bài 2:a/ Hãy chỉ ra 2 số nguyên dương khác nhau x và y nào đó sao cho xy + x và xy + y đều là bình      phương của 2 số nguyên dương khác nhau.
         b/ Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 1994) sao cho xy + x và xy + y  đều là bình phương  của 2 số nguyên dương khác nhau.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n.2^n+3^n chia hết cho 25
Bài 4: Số nguyên A được tạo thành bằng cách viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ  nhỏ đến lớn A=12345...585960
              a,Hỏi chỉ ra cách xóa 100 chữ số  của  A sao cho A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất.
              b,Hỏi chỉ ra cách xóa 100 chữ số  của  A sao cho A2 tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất.
Bài 5: Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa mãn :Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau.(*)
                a) Chứng minh n ≤ 36
                b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp (a1, a2, a3, a4) và (an-3, an-2, an-1, an )trùng nhau.

Gắng lên nha!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Momoko Suzuka: 21-02-2016 - 09:46

[I Love MC]

Bài 1  :  
Bài 2 : a) bạn tự chọn đi  
b) Không giảm tính tổng quát giả sử $x \ge y+1$ (vì $x \ne y$) 
Đặt $xy+x=m^2,xy+y=n^2$  trong đó $m,n$ là các số nguyên dương suy ra $m>n \Leftrightarrow m \ge n+1$
Ta có $xy+x=n^2 \ge (y+1)y+y+1=(y+1)^2 \Rightarrow n>y$ 
Xét $x-y=(m-n)(m+n) \ge 2n+1 >2y+1$ do $f(x)=2x+1$ là hàm đồng biến $\forall x \in \mathbb{R}$ 
Vậy nên $x>3y+1$ 
Vì $y,x \in (998;1994)$ (1) suy ra $3y+1>3.998+1>1994$ 
Suy ra $x>1994$ (mâu thuẫn với (1)) 
Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn yêu cầu. 
Bài 3 : Gợi ý ta chứng minh $n$ có dạng $n=50m+11,50m+34$ với $m \in \mathbb{N}$

[I Love MC]

Bài 4 : Ta làm như sau : 
a) Xét số $A$ có $9+2.51=111$ chữ số 
ta xét TH1: Khi xóa $100$ chữ số của $A$ ta còn $11$ chữ số , $A$ có $6$ chữ số $0$ phân bố như sau 
$1..19..20..30...40...50..60$ 
Để $A_1$ nhỏ nhất ta chọn $5$ chữ số đầu tiên cho $A_1$ đuề bằng $0$ .
Ta sẽ xác định $6$ số còn lại của $A_1$ trong dãy : 
$51525354555657585960$ 
Dễ thấy $A_1=00000123450$ là số nhỏ nhất cần tìm 
TH2 : Số $A$ là số có nghĩa (chữ số đầu khác $0$) .
Ta chọn chữ số đầu là $1,5$ chữ số tiếp theo toàn là $0$. Cần tìm $5$ chữ số còn lại trong dãy : $51525354555657585960$  
Dễ thấy $A_1=10000012340$ là số cần tìm 
b) Khi xóa $100$ chữ số của $A$ ta còn $11$ chữ số , $A$ có $6$ chữ số $0$ phân bố như sau 

$1..9..19..29...39..49..5960$  
Dể $A_2$ lớn nhất thì ta chọn $5$ chữ số đầu tiên toàn là $9$ . Ta sẽ xác định $6$ còn lại cho $A$ từ dãy $50525354555657585960$  
Dễ thấy $A_2=99999785960$ là số cần tìm 
Bài 5 : a) Giả sử $n \ge 37$ . Lúc đó dãy chứa $n-4 \ge 33>2^5$ bộ $5$ chữ số nhị phân liên tiếp suy ra phải có $2$ bộ số trùng nhau (vô lí) 
Vậy nên $n \le 36$ 
b) Giả sử thêm $a_{n+1}=0$ thi 
$a_{n-3} a_{n-2} a_{n-1} a_n 0 \equiv a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3} 0$ và nếu thêm $a_{n+1}=1$ thì 
$a_{n-3} a_{n-2} a_{n-1} a_n 1 \equiv a_j a_{j+1} a_{j+2} a_{j+3} 1$ 
Nếu $i,j \ne 1$ thì $a_{i-1} \ne a_{j-1}$ theo (*)
Suy ra có $1$ bộ $5$ số bắt đầu từ $a_{i-1}$ hoặc $a_{j-1}$ trùng với bộ $a_{n-3} a_{n-2} a_{n-1} a_n$ (vô lí) 
Suy ra trong $i$ và $j$ phải tồn tại một số bằng $1$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 21-02-2016 - 13:33