Cho a, b, c > 0. Tìm GTNN của
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)}{ab+bc+ca}}$
Tìm GTNN của $P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)}{ab+bc+ca}}$
Bắt đầu bởi
jupiterhn9x
, 21-02-2016 - 22:06
bất đẳng thức thi đại học
#2
Đã gửi 23-02-2016 - 17:16
phamngochung9a
-
- Điều hành viên THPT
-
- 480 Bài viết
Sĩ quan
Cho a, b, c > 0. Tìm GTNN của$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)}{ab+bc+ca}}$
$P=\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}=\sum \sqrt{\frac{2a^{2}}{2a(b+c)}}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}\\\geq 2\sqrt{2}.\sum \frac{a}{2a+b+c}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}\\\geq 2\sqrt{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)}+\sqrt{\frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}}\\=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^{2}}}+\sqrt{2.\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}-4}$
Đặt $t=\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$, ta có: $t\in \left [3;+\infty \right )$
$P=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{t}}+\sqrt{2t-4}=\frac{t\sqrt{2}}{t-1}+\sqrt{2t-4}$
Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{t\sqrt{2}}{t-1}+\sqrt{2t-4}$ trên $\left [3;+\infty \right )$, ta có: $f(t)\geq \frac{5\sqrt{2}}{2}$
- hoangson2598, quan1234 và jupiterhn9x thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức thi đại học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)}{ab+bc+ca}}$Bắt đầu bởi jupiterhn9x , 21-02-2016  bất đẳng thức thi đại học
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
