Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy M bất kì khác A. Trên tiếp tuyến ở M của đường tròn (O) lấy D, E sao cho BD=BE=BA. Đường thẳng BM cắt (O) ở điểm thứ hai là N. Chứng minh:
a) BDNE là tứ giác nội tiếp.
b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đướng tròn (O) tiếp xúc nhau.
a)
Ta có $\triangle BMA \sim\triangle BAN$ (g, g)
=>$\frac{BM}{BA} =\frac{BA}{BN}$
<=>$BA^2 =BM .BN =BD^2$
<=>$\frac{BM}{BD} =\frac{BD}{BN}$
=>$\triangle BMD \sim\triangle BDN$ (c, g, c)
=>$\widehat{BDE} =\widehat{BND} =\widehat{BED}$
=>BDNE nội tiếp
b)
kẻ tia Bx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp BDNE nằm về nửa mặt phẳng bờ BN có chứa E
có $\widehat{EBx} =\widehat{ENB} =\widehat{EDB} =\widehat{DEB}$
=>Bx //DE (1)
gọi G là tâm đ tròn ngoại tiếp BDNE (2)
gọi F là tâm đ tròn ngoại tiếp AHC (3)
từ (1, 2, 3) =>GB //FM
=>$\widehat{GBN} =\widehat{FMN}$ (4)
mà $\widehat{GBN} =\widehat{GNB}$ (5)
và $\widehat{FMN} =\widehat{FNM}$ (6)
từ (4, 5, 6) =>$\widehat{GNB} =\widehat{FNB}$
=>G, F, N thẳng hàng
=>(G) và (F) tiếp xúc nhau tại N (đpcm)