Chủ đề này có 3 trả lời

[lhplyn]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1

 

CMR : $\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2} + \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 22-02-2016 - 17:19

[hoctrocuaHolmes]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1

 

CMR : $\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2} + \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$\sum \frac{a^{2}}{a(b+c)^{2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum ab^{2}+6abc}$

Ta cần cm $\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum ab^{2}+6abc}\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow 4(a+b+c)^{3}\geq 9(\sum ab^{2}+6abc)\Leftrightarrow 4\sum a^{3}+12\sum a^{2}b+24abc\geq 9\sum a^{2}b+54abc\Leftrightarrow 4\sum a^{3}+3\sum a^{2}b\geq 30abc$

Thật vậy,AM-GM ta có $4\sum a^{3}\geq 12abc;3\sum a^{2}b\geq 3.6abc=18abc\rightarrow Q.E.D$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1

 

CMR : $\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2} + \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})(a+b+c) \geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}(1)$

 

Mặt khác, áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ lại có:

$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1 = \frac{1}{2}.(b+c+c+a+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}) \geq \frac{9}{2}$

Suy ra : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}(2)$

 

Kết hợp $(1)(2)$ và $a+b+c=1$ ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 22-02-2016 - 17:45

[Hoang Duong]

2 bạn trên giải hay quá, mình có hướng giải có vẻ ngắn hơn nên xin góp vui vậy

$\sum \frac{2a^2}{2a(1-a)(1-a)}\geq \sum \frac{2a^2}{(\frac{2a+(1-a)+(1-a)}{3})^3}=\frac{27\sum a^2}{4}\geq\frac{9(a+b+c)^2}{4}=\frac{9}{4}$