Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
quanguefa

quanguefa

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 596 Bài viết

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)


Xem topic "Chuyên đề các bài Toán lãi suất Casio" tại đây

 

:like Visit my facebook


#2
rainbow99

rainbow99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 386 Bài viết

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Áp dụng BĐT AM-GM : Ta có được $abc\geq \left ( 3-2a \right )\left ( 3-2b \right )\left ( 3-2c \right )=27+12\left ( \sum ab \right )-18\left ( \sum a \right )-8abc\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}\left ( \sum ab \right )-3$

$\Rightarrow \sum a^{2}+abc\geq \sum a^{2}+\frac{4}{3}\left ( \sum ab \right )-3=\left ( a+b+c \right )^{2}-\frac{2}{3}\left ( \sum ab \right )-3\geq \left ( a+b+c \right )^{2}-\frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^{2}-3=4$



#3
Nhok Tung

Nhok Tung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c \rightarrow 3=a+b+c\geq 3a\rightarrow a\leq 1\rightarrow a\in (0;1]$

Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$

BĐT $\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-abc\leqslant 5 \Leftrightarrow 2a(b+c)+(2-a)bc\leqslant 5$

VT = $2a(3-a)+(2-a)bc\leqslant 2a(3-a)+(2-a)\frac{(b+c)^{2}}{4}=2a(3-a)+(2-a)\frac{(3-a)^{2}}{4}=-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$

Xét hàm f(a) = $-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$ trên (0;1]

Lập BBT ta có f(a) $\leq f(1)=5\rightarrow đpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 23-02-2016 - 17:13

                        $\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$

                                          


#4
quan1234

quan1234

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 257 Bài viết

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

 

(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)

Theo nguyên lí 'Đi-dép-lê',  :D , ta có $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1=2-c$

$VT\geq a^2+b^2+c^2+2-c\geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2+2-c=\frac{(3-c)^2}{2}+c^2+(2-c)c= \frac{c^2-2c+9}{2}\geq 4$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh