Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)
Áp dụng BĐT AM-GM : Ta có được $abc\geq \left ( 3-2a \right )\left ( 3-2b \right )\left ( 3-2c \right )=27+12\left ( \sum ab \right )-18\left ( \sum a \right )-8abc\Rightarrow abc\geq \frac{4}{3}\left ( \sum ab \right )-3$
$\Rightarrow \sum a^{2}+abc\geq \sum a^{2}+\frac{4}{3}\left ( \sum ab \right )-3=\left ( a+b+c \right )^{2}-\frac{2}{3}\left ( \sum ab \right )-3\geq \left ( a+b+c \right )^{2}-\frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^{2}-3=4$
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b\leq c \rightarrow 3=a+b+c\geq 3a\rightarrow a\leq 1\rightarrow a\in (0;1]$
Ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$
BĐT $\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-abc\leqslant 5 \Leftrightarrow 2a(b+c)+(2-a)bc\leqslant 5$
VT = $2a(3-a)+(2-a)bc\leqslant 2a(3-a)+(2-a)\frac{(b+c)^{2}}{4}=2a(3-a)+(2-a)\frac{(3-a)^{2}}{4}=-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$
Xét hàm f(a) = $-\frac{a^{3}}{4}+\frac{3a}{4}+\frac{9}{2}$ trên (0;1]
Lập BBT ta có f(a) $\leq f(1)=5\rightarrow đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nhok Tung: 23-02-2016 - 17:13
$\lim_{I\rightarrow Math}LOVE=+\infty$
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$
(Mình có cách giải theo phương pháp lượng giác hóa nhưng không hay lắm, post lên hy vọng m.n có cách giải theo những đánh giá đại số)
Theo nguyên lí 'Đi-dép-lê', , ta có $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1=2-c$
$VT\geq a^2+b^2+c^2+2-c\geq \frac{(a+b)^2}{2}+c^2+2-c=\frac{(3-c)^2}{2}+c^2+(2-c)c= \frac{c^2-2c+9}{2}\geq 4$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh