Chủ đề này có 3 trả lời

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Cho dãy số (Un) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{1}=3 & \\ U_{n+1}=\frac{U_{n}^{2015}+2U_{n}+4}{U_{n}^{2014}-U_{n}+6} & \end{matrix}\right.$

Đặt $Y_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{U_{i}^{2014}+4}$. Tìm: $\lim_{n\rightarrow+\propto }Y_{n}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho dãy số (Un) xác định bởi $\left\{\begin{matrix} U_{1}=3 & \\ U_{n+1}=\frac{U_{n}^{2015}+2U_{n}+4}{U_{n}^{2014}-U_{n}+6} & \end{matrix}\right.$

Đặt $Y_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{U_{i}^{2014}+4}$. Tìm: $\lim_{n\rightarrow+\propto }Y_{n}$

Ta có: $U_{n+1}-U_n=\frac{U_n^{2015}+2U_n+4}{U_n^{2014}-U_n+6}-U_n=\frac{(U_n-2)^{2}}{U_n^{2014}-U_n+6} >0,$ $\forall x \in N*$

Suy ra: $U_{n+1} > U_n$ suy ra $(U_n)$ là dãy tăng nên $U_{n+1}>U_n>...>U_1=3>0$ nên $(U_n)$ là dãy dương.

Giả sử $(U_n)$ tồn tại giới hạn hữu hạm là $\lim U_n=L$ ta có:

$L=\frac{L^{2015}+2L+4}{L^{2014}-L+6}\Leftrightarrow L^{2015}-L^{2}+6L=L^{2015}+2L+4 \Leftrightarrow L=2$ (vô lý vì $L>3$)

Do đó, $\lim U_n= +\infty$

Xét: $U_{n+1}-2=\frac{U_n^{2015}+2U_n+4}{U_n^{2014}-U_n+6}-2=\frac{U_n^{2015}-2U_n^{2014}+4U_n-8}{U_n^{2014}-U_n+6}$

$=\frac{(U_n-2)(U_n^{2014}+4)}{(U_n^{2014}+4)-(U_n-2)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{U_n-2}-\frac{1}{U_{n+1}-2}=\frac{1}{U_n^{2014}+4}$

Thay $n=1,2,...,n-1$ ta có:

$\frac{1}{U_1-2}-\frac{1}{U_2-2}=\frac{1}{U_1^{2014}+4}$

$\frac{1}{U_2-2}-\frac{1}{U_3-2}=\frac{1}{U_2^{2014}+4}$
   $. . . . .$

$\frac{1}{U_{n-1}-2}-\frac{1}{U_n-2}=\frac{1}{U_{n-1}^{2014}+4}$

Suy ra: $Y_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{U_i^{2014}+4}=\frac{1}{U_1-2}-\frac{1}{U_{n+1}-2}=1-\frac{1}{U_{n+1}-2}$
Mặt khác: $\lim U_{n+1}=+\infty$ nên $\lim \frac{1}{U_{n+1}-2}=0$

Do đó, $\lim Y_n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-03-2016 - 23:40

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Ta có: $U_{n+1}-U_n=\frac{U_n^{2015}+2U_n+4}{U_n^{2014}-U_n+6}-U_n=\frac{(U_n-2)^{2}}{U_n^{2014}-U_n+6} >0,$ $\forall x \in N*$

Suy ra: $U_{n+1} > U_n$ suy ra $(U_n)$ là dãy tăng nên $U_{n+1}>U_n>...>U_1=3>0$ nên $(U_n)$ là dãy dương.

Giả sử $(U_n)$ tồn tại giới hạn hữu hạm là $\lim U_n=L$ ta có:

$L=\frac{L^{2015}+2L+4}{L^{2014}-L+6}\Leftrightarrow L^{2015}-L^{2}+6L=L^{2015}+2L+4 \Leftrightarrow L=2$ (vô lý vì $L>3$)

Do đó, $\lim U_n= +\infty$

Xét: $U_{n+1}-2=\frac{U_n^{2015}+2U_n+4}{U_n^{2014}-U_n+6}-2=\frac{U_n^{2015}-2U_n^{2014}+4U_n-8}{U_n^{2014}-U_n+6}$

$=\frac{(U_n-2)(U_n^{2014}+4)}{(U_n^{2014}+4)-(U_n-2)}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{U_n-2}-\frac{1}{U_{n+1}-2}=\frac{1}{U_n^{2014}+4}$

Thay $n=1,2,...,n-1$ ta có:

$\frac{1}{U_1-2}-\frac{1}{U_2-2}=\frac{1}{U_1^{2014}+4}$

$\frac{1}{U_2-2}-\frac{1}{U_3-2}=\frac{1}{U_2^{2014}+4}$
   $. . . . .$

$\frac{1}{U_{n-1}-2}-\frac{1}{U_n-2}=\frac{1}{U_{n-1}^{2014}+4}$

Suy ra: $Y_n=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{U_i^{2014}+4}=\frac{1}{U_1-2}-\frac{1}{U_{n+1}-2}=1-\frac{1}{U_{n+1}-2}$
Mặt khác: $\lim U_{n+1}=+\infty$ nên $\lim \frac{1}{U_{n+1}-2}=0$

Do đó, $\lim Y_n=1$

Bạn có tài liệu nào về phần này không bảo mình với

[anhquannbk]

Bạn có tài liệu nào về phần này không bảo mình với

File gửi kèm

•  giới hạn dãy tổng.pdf   263.63K   124 Số lần tải