chứng minh x thuộc Z
#2
Đã gửi 25-02-2016 - 23:55
cho x^3-x thuộc Z,x^4-x thuộc Z chứng minh x thuộc Z
Bài này thật vi diệu :v
Giả thiết suy ra $\frac{x^4-x}{x^3-x} \in \mathbb{Q}\Leftrightarrow \frac{x^3-1}{x^2-1}\in\mathbb{Q}\Leftrightarrow \frac{x^2+x+1}{x+1}\in \mathbb{Q}\Leftrightarrow \frac{x^2}{x+1}=b\in\mathbb{Q}$
Suy ra $(x^3-x).\frac{x+1}{x^2}= \frac{x^3+x^2-x-1}{x}=c\in\mathbb{Q}$
đặt $x^3-x=a$ thì $\frac{a+x^2-1}{x}=c\Rightarrow a+x^2-1=cx$
mà $\frac{x^2}{x+1}= b\Rightarrow x^2=bx+b$
Trừ theo vế ta được $a-1=(c-b)x-b$
Dễ thấy $b\neq c$ nên ta sẽ có $x\in\mathbb{Q}$
Ta xét phương trình hệ số nguyên $t^3-t-(x^3-x)=0$ có $x$ là nghiệm hữu tỉ nên nó cũng là nghiệm nguyên.
$đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 26-02-2016 - 00:47
- tpdtthltvp và Element hero Neos thích
__________
Bruno Mars
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh