Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 OiDzOiOi

OiDzOiOi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 114 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Gì cũng thích

Đã gửi 25-02-2016 - 22:02

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$


What is .......>_<.....


#2 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 25-02-2016 - 22:36

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có:

$2n+1=(\sqrt{n})^{2}+(\sqrt{n+1})^{2} > 2.\sqrt{n}.\sqrt{n+1}$ ( dấu bằng không xảy ra ) 
Suy ra : $\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1} < \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2.\sqrt{n}.\sqrt{n+1}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$
Tương tự thì :

$\frac{1}{3(1+\sqrt{2})} < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})} < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})$

                          . . . . .

$\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Cộng vế theo vế suy ra :

$S(n) < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<\frac{1}{2}$ ( điều phải chứng minh )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-02-2016 - 22:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh