Chủ đề này có 1 trả lời

[OiDzOiOi]

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có:

$2n+1=(\sqrt{n})^{2}+(\sqrt{n+1})^{2} > 2.\sqrt{n}.\sqrt{n+1}$ ( dấu bằng không xảy ra ) 
Suy ra : $\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1} < \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2.\sqrt{n}.\sqrt{n+1}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$
Tương tự thì :

$\frac{1}{3(1+\sqrt{2})} < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})} < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})$

                          . . . . .

$\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Cộng vế theo vế suy ra :

$S(n) < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<\frac{1}{2}$ ( điều phải chứng minh )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-02-2016 - 22:39