Chủ đề này có 4 trả lời

[Thu Huyen 21]

Cho x,y,z>0.Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+xz}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thu Huyen 21: 26-02-2016 - 20:31

[hthang0030]

Gợi ý đặt a+b+c=p

ab+bc+ac=q

abc=r

[Thu Huyen 21]

Gợi ý đặt a+b+c=p

ab+bc+ac=q

abc=r

Bạn giải cụ thể ra được không

[hthang0030]

=>$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}=\sqrt[3]{(p-x)(p-y)(p-z)}=\sqrt[3]{pq-r}\geq \sqrt[3]{pq-\frac{pq}{9}}=\sqrt[3]{\frac{8pq}{9}}$

Vậy ta cần chứng minh:$\sqrt[3]{\frac{8pq}{9}}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{q}$

Phần còn lại nhường bạn giải nốt     

[PlanBbyFESN]

 

Cho x,y,z>0.Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+xz}$

 

 

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+xz}\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{3\sqrt{3}}(xy+yz+zx)\sqrt{xy+yz+zx}$

 

$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(xy+yz+zx)\sqrt{3(xy+yz+zx)}$               *

 

$\sqrt{3(xy+yz+zx)}\leq a+b+c (\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}\geq 0)\Rightarrow *\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

 

Đây là một BĐT hệ quả quen thuộc của AM-GM:

 

$(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

 

$\Leftrightarrow xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\geq 6xyz$

 

Thật vậy: $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=3\sqrt[3]{8x^{3}y^{3}z^{3}}=6xyz$

 

.......................

 

 

----------------------------------------------------------

 

 

 

Chú ý tí, mình thấy bạn spam hơi nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 26-02-2016 - 21:22