Đến nội dung

Hình ảnh

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \frac{2x^{2}+2y^


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
ngtrungkien019a

ngtrungkien019a

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn.Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}$

Đề có gì sai không mấy anh chị.


                     Đôi lúc bạn đối mặt với khó khăn không phải vì bạn làm điều gì đó sai mà bởi vì bạn đang đi đúng hướng.
 
 
                      
                                                           WELCOM TO My facebook


#2
81NMT23

81NMT23

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn.Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}$

Đề có gì sai không mấy anh chị.

Ở mẫu số của phân thức bên phải phải là $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Giải sau khi sửa đề:Chỉ cần chứng minh mệnh đề phụ: Tổng của bình phương độ dài của 2 cạnh trong tam giác luôn lớn hơn bình phương độ dài cạnh còn lại trong cùng một tam giác nhọn.

Giả sử tam giác ABC có cạnh lớn nhất là AC, từ A kẻ đường vuông góc cắt BC tại H, do ABC là tam giác nhọn nên H nằm giữa B và C.(Bạn tự vẽ hình nhé)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:$AB^{2}-BH^{2}=AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}\Rightarrow AB^{2}-BH^{2}+CH^{2}=AC^{2}$

Ta sẽ chứng minh:$AB^{2}+BC^{2}\geq AC^{2}\Leftrightarrow AB^{2}+BC^{2}\geq AB^{2}-BH^{2}+CH^{2}\Leftrightarrow BC^{2}+BH^{2}\geq CH^{2}$

Do H nằm giữa B và C nên BC>CH suy ra ta có điều cần chứng minh. Dễ dàng chứng minh được $AB^{2}+AC^{2}\geq BC^{2}$ và $CB^{2}+AC^{2}\geq BA^{2}$ do AC là cạnh lớn nhất. Vậy là bổ đề đã được chứng minh.

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski dạng cộng mẫu ta có:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{x^{4}}{(ax)^{2}}+\frac{y^{4}}{(by)^{2}}+\frac{z^{4}}{(cz)^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}}$

Cần chứng minh:  $\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}}\geq \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}\leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}}\geq \frac{2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 0$ 

đúng theo bổ đề với a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 27-02-2016 - 19:50


#3
ngtrungkien019a

ngtrungkien019a

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

Lộn đề rồi anh,đề là không có đẳng thức xảy ra,em ghi lộn.


                     Đôi lúc bạn đối mặt với khó khăn không phải vì bạn làm điều gì đó sai mà bởi vì bạn đang đi đúng hướng.
 
 
                      
                                                           WELCOM TO My facebook





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh