Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn.Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\geqslant \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}$
Đề có gì sai không mấy anh chị.
Ở mẫu số của phân thức bên phải phải là $a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Giải sau khi sửa đề:Chỉ cần chứng minh mệnh đề phụ: Tổng của bình phương độ dài của 2 cạnh trong tam giác luôn lớn hơn bình phương độ dài cạnh còn lại trong cùng một tam giác nhọn.
Giả sử tam giác ABC có cạnh lớn nhất là AC, từ A kẻ đường vuông góc cắt BC tại H, do ABC là tam giác nhọn nên H nằm giữa B và C.(Bạn tự vẽ hình nhé)
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:$AB^{2}-BH^{2}=AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}\Rightarrow AB^{2}-BH^{2}+CH^{2}=AC^{2}$
Ta sẽ chứng minh:$AB^{2}+BC^{2}\geq AC^{2}\Leftrightarrow AB^{2}+BC^{2}\geq AB^{2}-BH^{2}+CH^{2}\Leftrightarrow BC^{2}+BH^{2}\geq CH^{2}$
Do H nằm giữa B và C nên BC>CH suy ra ta có điều cần chứng minh. Dễ dàng chứng minh được $AB^{2}+AC^{2}\geq BC^{2}$ và $CB^{2}+AC^{2}\geq BA^{2}$ do AC là cạnh lớn nhất. Vậy là bổ đề đã được chứng minh.
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski dạng cộng mẫu ta có:
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{x^{4}}{(ax)^{2}}+\frac{y^{4}}{(by)^{2}}+\frac{z^{4}}{(cz)^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}}$
Cần chứng minh: $\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}}\geq \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+z^{2}}\leftrightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(ax)^{2}+(by)^{2}+(cz)^{2}}\geq \frac{2}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 0$
đúng theo bổ đề với a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn. Suy ra điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 81NMT23: 27-02-2016 - 19:50