Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của P=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2-1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Tìm GTNN của P=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2-1}$



#2
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

$

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Tìm GTNN của P=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2-1}$


$4 = a+b+c + abc \leq a+b+c + \frac{(a+b+c)^3}{27} \Rightarrow a+b+c \ge 3 \Rightarrow \frac{(a+b+c)^2}{9} \ge 1 $
$\Rightarrow P \ge \frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2 - \frac{1}{9}(a+b+c)^2} = \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{8(a+b+c)^2} \ge \frac{3}{8} $
Dấu $"=" $xảy ra khi $a=b=c =1 $



#3
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Sai rồi! Anh làm bị ngược dấu đoạn suy ra P:

...$\frac{(a+b+c)^2}{9} \geq 1$ ==> $P \geq ...$ ==> ngược dấu  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 29-02-2016 - 21:52


#4
robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Tìm GTNN của P=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2-1}$

xét dk a+b+c+abc=4 như trên suy ra a+b+c>=3.

$P\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)^2-3}$

tới đây xét hàm là ra :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 


#5
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c+abc=4. Tìm GTNN của P=$\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2-1}$


Sorry nhầm :D

Đặt $ p = a+b+c , q = ab+bc+ca , r = abc \Rightarrow p\ge 3, r\leq 1 $

.
Ta có $a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) \ge 0 $

.

Biến đổi tương đương ra : $ p^3 -4pq + 9r \ge 0 $
.

$ r \leq 1 \Rightarrow p^3 - 4pq + 9 \ge 0 $
.

$ \Rightarrow -2q \ge \frac{-1}{2} ( p^2 + \frac{9}{p} ) $
.

$P -\frac{3}{8} = \frac{p^2 - 2q}{p^2-1}-\frac{3}{8} \ge \frac{p^2 - \frac{1}{2} ( p^2 + \frac{9}{p} )}{p^2-1} - \frac{3}{8}$
$ = \frac{(p-3)(p^2 + 3p + 12) }{8p(p^2-1)} \ge 0 $
$\Rightarrow P \ge \frac{3}{8} $

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 02-03-2016 - 16:03


#6
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

xét dk a+b+c+abc=4 như trên suy ra a+b+c>=3.

$P\geq \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)^2-3}$

tới đây xét hàm là ra :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

Làm thế này Sai

Không ra đc đâu, như thế mạnh quá, cậu thử mà xem



#7
robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Làm thế này Sai

Không ra đc đâu, như thế mạnh quá, cậu thử mà xem

ờ, quên cái lim. sr nhiều


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh