Chủ đề này có 24 trả lời

[adamfu]

1. $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ Với mọi $a,b> 0$ (BDT Cô-si)

Xét hiệu

$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}= \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\geq 0$

$\Rightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

Dấu = xảy ra khi a=b

2. $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)

$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\geq a^{2}x^{2}+2axby+b^{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}y^{2}-2axby+b^{2}x^{2}$

$\Leftrightarrow (ay-bx)^2 \geq 0$

3. $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ với a,b>0

$\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\leq \frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\leq 2a+2b$

$\Leftrightarrow 0\leq a+b-2\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow 0\leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$

Dấu = xảy ra khi a=b                               

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

6. $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e)$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})\geq 4a(b+c+d+e)$

$(a-2b)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0...$

7. $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

 

tiếp tục cập nhật...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adamfu: 04-03-2016 - 20:32

[tanthanh112001]

Mình xin được bổ sung thêm 1 số bđt (các bạn tự chứng minh) : 

1) Bđt Nesbitt : Cho a, b, c là 3 số thực dương, ta có :

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

2) Bđt Bunyakovsky 

  * Dạng thông thường : $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$

  * Cho 2 bộ số : $(a_{1};a_{2};...;a_{n})$ và $(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ , ta có :

        $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})$²

3) Cho a, b > 0 và x $\in$ R, ta có :

    $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{x^{2}+y^{2}}{a+b}$

4) Cho a, b $\geq$ 1, ta có :$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

    *Mở rộng với m số sẽ là :

    Cho a, b, c,..,n (m số) ta có :$\frac{1}{1+a^{m}}+\frac{1}{1+b^{m}}+..+\frac{1}{1+n^{m}}\geq \frac{3}{1+ab..n}$ 

5) Cho a, b > 0, ta có :$\frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 29-02-2016 - 18:08

[tanthanh112001]

các bạn chứng minh đi, sôi nổi lên chứ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 29-02-2016 - 18:09

[adamfu]

2) Bđt Bunyakovsky 

  * Dạng thông thường : $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$

$\Rightarrow$ Hệ quả

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

[tquangmh]

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

tiếp tục cập nhật...

Mình thấy hai bất  đẳng thức này đâu cần các số x, y, z dương đâu bạn ?

[tquangmh]

$\Rightarrow$ Hệ quả

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

Nếu như vậy thì a, b, c, d lại phải dương 

[adamfu]

Mình thấy hai bất  đẳng thức này đâu cần các số x, y, z dương đâu bạn ?

 

để áp dụng bdt cô si cm bdt đúng

và x,y,z khác 0 (đkxd)

[tquangmh]

để áp dụng bdt cô si cm bdt đúng

và x,y,z khác 0 (đkxd)

x, y, z, khác 0 thì mình đồng ý. Nhưng còn phải lớn hơn 0 thì mình ko đồng ý.

Có thể chứng minh bằng BĐT Bunhia dạng phân thức đc mà. Mà khi sử dụng Bunhia thì số như thế nào cũng đc mà, đâu nhất thiết lớn hơn 0.

[adamfu]

Nếu như vậy thì a, b, c, d lại phải dương 

bdt bunhia dùng với mọi a,b,c,d mà bạn

[adamfu]

ừm, bạn cm luôn đi

cảm ơn bạn đã góp ý

[tquangmh]

bdt bunhia dùng với mọi a,b,c,d mà bạn

Có phải ý của bạn là  :

$a^{2}+b^{2}\geq2ab; c^{2}+d^{2}\geq 2cd\Rightarrow(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

Hoặc ý của bạn là :

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac+bd)^{2}$

mà : $ac+bd\geq2\sqrt{abcd}\Rightarrow(ac+bd)^{2}\geq 4abcd$

 

Tất cả đều dùng Cô-si nên phải là các số dương   

[tpdtthltvp]

Có phải ý của bạn là  :

$a^{2}+b^{2}\geq2ab; c^{2}+d^{2}\geq 2cd\Rightarrow(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

Hoặc ý của bạn là :

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac+bd)^{2}$

mà : $ac+bd\geq2\sqrt{abcd}\Rightarrow(ac+bd)^{2}\geq 4abcd$

 

Tất cả đều dùng Cô-si nên phải là các số dương   

Không cần đâu bạn ơi! Vì $a^2,b^2$ luôn lớn hơn $0$ rồi và $(a+b)^2\geq 4ab\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ cũng luôn đúng luôn!

[ineX]

Sao mà các bạn toàn đưa ra những định lý không vậy, bài tập đâu rồi?

Đã thế cũng góp vui một bđt quen thuộc không chứng minh:

Với hai số không âm a,b ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

[adamfu]

Một số bài toán cơ bản về bdt

Với x,y,z>0. cmr

a,$\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}$

b,$2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\geq 4xy$

c,$3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$

[adamfu2]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adamfu2: 06-03-2016 - 20:51

[hoakute]

Bđt Tukervici: 
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta có: 

a⁴ +b⁴ +c⁴+d⁴ +2abcd >= a²b² +b²c²+c²d² +d²a² +a²c²+ b²d²

 

mong m.n giúp đỡ. tks nhìu ạ       

[tquangmh]

Đây bạn : http://diendantoanho...eq-sum-syma2b2/

[hoakute]

Đây bạn : http://diendantoanho...eq-sum-syma2b2/

tks bn

[adamfu2]

Giá trị lớn nhất bt A=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}$

Trích violympic 9 v15

[tpdtthltvp]

Giá trị lớn nhất bt A=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}$

Trích violympic 9 v15

Áp dung Bu-nhi-a:

$A=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2(1-x+1+x)}=\sqrt{2.2}=2$

Vậy $Max A=2 \Leftrightarrow 1-x=1+x\Leftrightarrow x=0$