Chủ đề này có 24 trả lời

[adamfu2]

Giá trị nhỏ nhất bt

$\frac{4x+1}{x^2+3}$

(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)

[OiDzOiOi]

Giá trị nhỏ nhất bt

$\frac{4x+1}{x^2+3}$

(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)

$\frac{4x+1}{x^{2}+3}=\frac{-(x^{2}+3)+x^{2}+4x+4}{x^{2}+3}=-1+\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3}\geq -1$

[OiDzOiOi]

 

                               

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

BĐT gốc nhé (Cô-si - Svácxơ)   :   $\frac{a^{2}_{1}}{b_{1}}+\frac{a^{2}_{2}}{b_{2}}+...+\frac{a^{n}_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 07-03-2016 - 23:21

[PlanBbyFESN]

Dù topic này không hay lắm nhưng nhân ngày 8/3 mình tặng các lady khi liếc qua bài viết này một số bài BĐT sau đây: (Vài bài gọi là thôi)

 

Bài 1 (Làm mạnh BĐT Cô si):

 Với $a,b,c>0$ chứng minh :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$

 

Giải:

 

Ta có : $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\frac{a(a-b)^{2}}{(a+b)}\Leftrightarrow b(a-b)^{2}\geq 0$(đúng)

 

 

Tương tự $b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\frac{b(b-c)^{2}}{(b+c)}$

                         $c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\frac{c(c-a)^{2}}{(c+a)}$

Cộng vế theo vế ........

 

Bài 2:(Schur)     $a,b,c>0$

 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Giải: Bất đẳng thức chặt trên được chứng minh bằng nhiều cách! (Tự tìm hiểu)

 

Nhưng thú vị nhất là nó là dạng khải triển của BĐT quen thuộc sau đây:

$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

 

Bài 3: (U.T.C)

 

$a,b,c,d>0;a+b+c+d=4$

CM: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}+\frac{1}{1+d^{2}}\geq 2$

 

Giải:

 

$\frac{2}{1+a^{2}}\geq 2-a\Leftrightarrow \frac{a(a-1)^{2}}{a^{2}+1}\geq 0$ Đúng!

 

Tương tự: $\frac{2}{1+b^{2}}\geq 2-b$

                 $\frac{2}{1+c^{2}}\geq 2-c$

                 $\frac{2}{1+d^{2}}\geq 2-d$

.......................

 

Bài 4: (Nesbit mở rộng)

$a,b,c>0;abc=1$

CM:$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

Giải:

 

$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{9}{4}$

.................................

[adamfu]