Giá trị nhỏ nhất bt
$\frac{4x+1}{x^2+3}$
(violtmpic v16 http://baovietnhantho.violympic.vn/)
$\frac{4x+1}{x^{2}+3}=\frac{-(x^{2}+3)+x^{2}+4x+4}{x^{2}+3}=-1+\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3}\geq -1$
What is .......>_<.....
4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$
Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:
$x+y\geq 2\sqrt{xy}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$
$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$
do x+y>0
$\Rightarrow$ đpcm
dấu bằng xảy ra khi x=y
5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)
Tương tự BDT 4
áp dụng BDT cô si cho 3 số dương
BĐT gốc nhé (Cô-si - Svácxơ) : $\frac{a^{2}_{1}}{b_{1}}+\frac{a^{2}_{2}}{b_{2}}+...+\frac{a^{n}_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 07-03-2016 - 23:21
What is .......>_<.....
Dù topic này không hay lắm nhưng nhân ngày 8/3 mình tặng các lady khi liếc qua bài viết này một số bài BĐT sau đây: (Vài bài gọi là thôi)
Bài 1 (Làm mạnh BĐT Cô si):
Với $a,b,c>0$ chứng minh :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$
Giải:
Ta có : $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\frac{a(a-b)^{2}}{(a+b)}\Leftrightarrow b(a-b)^{2}\geq 0$(đúng)
Tương tự $b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\frac{b(b-c)^{2}}{(b+c)}$
$c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\frac{c(c-a)^{2}}{(c+a)}$
Cộng vế theo vế ........
Bài 2:(Schur) $a,b,c>0$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Giải: Bất đẳng thức chặt trên được chứng minh bằng nhiều cách! (Tự tìm hiểu)
Nhưng thú vị nhất là nó là dạng khải triển của BĐT quen thuộc sau đây:
$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
Bài 3: (U.T.C)
$a,b,c,d>0;a+b+c+d=4$
CM: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}+\frac{1}{1+d^{2}}\geq 2$
Giải:
$\frac{2}{1+a^{2}}\geq 2-a\Leftrightarrow \frac{a(a-1)^{2}}{a^{2}+1}\geq 0$ Đúng!
Tương tự: $\frac{2}{1+b^{2}}\geq 2-b$
$\frac{2}{1+c^{2}}\geq 2-c$
$\frac{2}{1+d^{2}}\geq 2-d$
.......................
Bài 4: (Nesbit mở rộng)
$a,b,c>0;abc=1$
CM:$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
Giải:
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{9}{4}$
.................................
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh