Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

TỔNG HỢP BDT & CÁCH CM


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#1 adamfu

adamfu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 27-02-2016 - 20:59

1. $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ Với mọi $a,b> 0$ (BDT Cô-si)

Xét hiệu

$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}= \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\geq 0$

$\Rightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

Dấu = xảy ra khi a=b

2. $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}$ (Bu-nhi-a-cốp-xki)

$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\geq a^{2}x^{2}+2axby+b^{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}y^{2}-2axby+b^{2}x^{2}$

$\Leftrightarrow (ay-bx)^2 \geq 0$

3. $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq \sqrt{\frac{a+b}{2}}$ với a,b>0

$\Leftrightarrow \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\leq \frac{a+b}{2}$

$\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\leq 2a+2b$

$\Leftrightarrow 0\leq a+b-2\sqrt{ab}$

$\Leftrightarrow 0\leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$

Dấu = xảy ra khi a=b                               

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

6. $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e)$

$\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})\geq 4a(b+c+d+e)$

$(a-2b)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0...$

7. $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

 

tiếp tục cập nhật...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adamfu: 04-03-2016 - 20:32

MỜI CÁC BẠN GHÉ THĂM

 

http://diendantoanho...ào-10/?p=622133

 


#2 tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn $\boxed{\boxed{{\color{Red} \bigstar } \color{blue}{\text{CHUYÊN TOÁN}} {\color{Red} \bigstar }}}$

Đã gửi 27-02-2016 - 21:37

Mình xin được bổ sung thêm 1 số bđt (các bạn tự chứng minh) :  :lol:

1) Bđt Nesbitt : Cho a, b, c là 3 số thực dương, ta có :

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

2) Bđt Bunyakovsky 

  * Dạng thông thường : $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$

  * Cho 2 bộ số : $(a_{1};a_{2};...;a_{n})$ và $(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ , ta có :

        $(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})$2

3) Cho a, b > 0 và x $\in$ R, ta có :

    $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{x^{2}+y^{2}}{a+b}$

4) Cho a, b $\geq$ 1, ta có :$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

    *Mở rộng với m số sẽ là :

    Cho a, b, c,..,n (m số) ta có :$\frac{1}{1+a^{m}}+\frac{1}{1+b^{m}}+..+\frac{1}{1+n^{m}}\geq \frac{3}{1+ab..n}$ 

5) Cho a, b > 0, ta có :$\frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 29-02-2016 - 18:08

:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#3 tanthanh112001

tanthanh112001

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn $\boxed{\boxed{{\color{Red} \bigstar } \color{blue}{\text{CHUYÊN TOÁN}} {\color{Red} \bigstar }}}$

Đã gửi 29-02-2016 - 18:06

các bạn chứng minh đi, sôi nổi lên chứ  :ukliam2:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanthanh112001: 29-02-2016 - 18:09

:ukliam2: TINH HOA CỦA TOÁN HỌC LÀ NẰM Ở SỰ TỰ DO CỦA NÓ. :ukliam2: 

---- Georg Cantor ----

 

996a71363a3740db895ba753827984fd.1.gif


#4 adamfu

adamfu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 02-03-2016 - 20:22

2) Bđt Bunyakovsky 

  * Dạng thông thường : $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac+bd)^{2}$

$\Rightarrow$ Hệ quả

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$


MỜI CÁC BẠN GHÉ THĂM

 

http://diendantoanho...ào-10/?p=622133

 


#5 tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Erorrrrrr

Đã gửi 02-03-2016 - 20:47

4.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y} (x,y>0)$

Áp dụng BDT cô si cho 2 số dương:

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{xy}}$

$\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq 4$

do x+y>0

$\Rightarrow$ đpcm

dấu bằng xảy ra khi x=y

5. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ ($x,y,z> 0$)

Tương tự BDT 4

áp dụng BDT cô si cho 3 số dương

 

tiếp tục cập nhật...

Mình thấy hai bất  đẳng thức này đâu cần các số x, y, z dương đâu bạn ?


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 


#6 tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Erorrrrrr

Đã gửi 02-03-2016 - 20:59

$\Rightarrow$ Hệ quả

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

Nếu như vậy thì a, b, c, d lại phải dương  :D


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 


#7 adamfu

adamfu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 02-03-2016 - 21:01

Mình thấy hai bất  đẳng thức này đâu cần các số x, y, z dương đâu bạn ?

 

để áp dụng bdt cô si cm bdt đúng

và x,y,z khác 0 (đkxd)


MỜI CÁC BẠN GHÉ THĂM

 

http://diendantoanho...ào-10/?p=622133

 


#8 tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Erorrrrrr

Đã gửi 02-03-2016 - 21:04

để áp dụng bdt cô si cm bdt đúng

và x,y,z khác 0 (đkxd)

x, y, z, khác 0 thì mình đồng ý. Nhưng còn phải lớn hơn 0 thì mình ko đồng ý.

Có thể chứng minh bằng BĐT Bunhia dạng phân thức đc mà. Mà khi sử dụng Bunhia thì số như thế nào cũng đc mà, đâu nhất thiết lớn hơn 0.


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 


#9 adamfu

adamfu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 02-03-2016 - 21:04

Nếu như vậy thì a, b, c, d lại phải dương  :D

bdt bunhia dùng với mọi a,b,c,d mà bạn


MỜI CÁC BẠN GHÉ THĂM

 

http://diendantoanho...ào-10/?p=622133

 


#10 adamfu

adamfu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 02-03-2016 - 21:05

ừm, bạn cm luôn đi

cảm ơn bạn đã góp ý


MỜI CÁC BẠN GHÉ THĂM

 

http://diendantoanho...ào-10/?p=622133

 


#11 tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Erorrrrrr

Đã gửi 02-03-2016 - 21:13

bdt bunhia dùng với mọi a,b,c,d mà bạn

Có phải ý của bạn là  :

$a^{2}+b^{2}\geq2ab; c^{2}+d^{2}\geq 2cd\Rightarrow(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

Hoặc ý của bạn là :

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac+bd)^{2}$

mà : $ac+bd\geq2\sqrt{abcd}\Rightarrow(ac+bd)^{2}\geq 4abcd$

 

Tất cả đều dùng Cô-si nên phải là các số dương :lol:  


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 


#12 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 02-03-2016 - 21:16

Có phải ý của bạn là  :

$a^{2}+b^{2}\geq2ab; c^{2}+d^{2}\geq 2cd\Rightarrow(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 4abcd$

Hoặc ý của bạn là :

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac+bd)^{2}$

mà : $ac+bd\geq2\sqrt{abcd}\Rightarrow(ac+bd)^{2}\geq 4abcd$

 

Tất cả đều dùng Cô-si nên phải là các số dương :lol:  

Không cần đâu bạn ơi! Vì $a^2,b^2$ luôn lớn hơn $0$ rồi và $(a+b)^2\geq 4ab\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ cũng luôn đúng luôn! :)


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 


#13 ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trung Tâm Giáo Dục Thường Xuyên Cầu Giấy
  • Sở thích:Sách

Đã gửi 02-03-2016 - 21:23

Sao mà các bạn toàn đưa ra những định lý không vậy, bài tập đâu rồi?

Đã thế cũng góp vui một bđt quen thuộc không chứng minh:

Với hai số không âm a,b ta luôn có:

$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geq \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$


"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#14 adamfu

adamfu

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 02-03-2016 - 21:33

Một số bài toán cơ bản về bdt

Với x,y,z>0. cmr

a,$\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}$

b,$2(x^{2}+y^{2})\geq (x+y)^{2}\geq 4xy$

c,$3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$


MỜI CÁC BẠN GHÉ THĂM

 

http://diendantoanho...ào-10/?p=622133

 


#15 adamfu2

adamfu2

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 06-03-2016 - 20:46

8.PNG

9.PNG


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi adamfu2: 06-03-2016 - 20:51


#16 hoakute

hoakute

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định - THCS Đào Sư Tích

Đã gửi 06-03-2016 - 21:19

Bđt Tukervici: 
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta có: 

a+b+c4+d4 +2abcd >= a2b2 +b2c2+c2d+d2a2 +a2c2+ b2d2

 

mong m.n giúp đỡ. tks nhìu ạ     :lol:  



#17 tquangmh

tquangmh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Erorrrrrr

Đã gửi 06-03-2016 - 21:55

Đây bạn : http://diendantoanho...eq-sum-syma2b2/


"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid

 


#18 hoakute

hoakute

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 149 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định - THCS Đào Sư Tích

Đã gửi 06-03-2016 - 22:10

tks bn



#19 adamfu2

adamfu2

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 07-03-2016 - 12:41

Giá trị lớn nhất bt A=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}$

Trích violympic 9 v15



#20 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 07-03-2016 - 18:14

Giá trị lớn nhất bt A=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}$

Trích violympic 9 v15

Áp dung Bu-nhi-a:

$A=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}\leq \sqrt{2(1-x+1+x)}=\sqrt{2.2}=2$

Vậy $Max A=2 \Leftrightarrow 1-x=1+x\Leftrightarrow x=0$


$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh