Chủ đề này có 22 trả lời

[I Love MC]

Nguồn : Thầy Võ Quốc Bá Cẩn 

[Rias Gremory]

ĐỀ BÀI

Câu $1$, 

$1$,

Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.

$2$,

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b$ không thể là số nguyên tố.

Câu $2$,

$1$,

Giải phương trình : $3x^2+15x+22-(x^2+x+18)\sqrt{3x+1}=0$

$2$,

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$

Câu $3$,

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{1+a^3}{a+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}$

Câu $4$ , 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B,C$). $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,AC$. Chứng minh rằng : 

$1$, $CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$

$2$, $OB\perp EF$ và $\frac{BH}{BO}=2\frac{EF}{AC}$

$3$, Đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HP$

Câu $5$, 

$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$

$2$, Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=60^0,BC=2\sqrt{3}cm$. Bên trong tam giác này cho $13$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $13$ điểm ấy luôn tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1cm$

[Rias Gremory]

Câu $4$ , 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B,C$). $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,AC$. Chứng minh rằng : 

$1$, $CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$

Ta có VT=$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}$

Ta có $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bcCosA$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(b^{2}+c^{2})-2bcCosA$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4bc-2bcCosA$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4bc-2bc(CosA+\sqrt{3}SinA)+2bc\sqrt{3}SinA$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2bc(2-CosA-\sqrt{3}CosA)+4\sqrt{3}S$ (S là d tích)

Áp dung bđt Bunhiacopxki ta có $(CosA+\sqrt{3}SinA)^{2}\leq (1+3)(CosA^{2}+SinA^{2})=4$

$\Rightarrow CosA+\sqrt{3}SinA\leq 2$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$

$\Rightarrow CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$

$\Rightarrow ĐPCM$

Một kết quả mạnh hơn : $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Rias Gremory: 28-02-2016 - 14:26

[CaptainCuong]

ĐỀ BÀI

Câu $1$, 

$1$,

Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.

$2$,

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b$ không thể là số nguyên tố.

Câu $2$,

$1$,

Giải phương trình : $3x^2+15x+22-(x^2+x+18)\sqrt{3x+1}=0$

$2$,

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$

Câu $3$,

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{1+a^3}{a+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}$

Câu $4$ , 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $AE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $P$ khác $B,C$). $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên $AB,AC$. Chứng minh rằng : 

$1$, $CotA+CotB+CotC\geq \sqrt{3}$

$2$, $OB\perp EF$ và $\frac{BH}{BO}=2\frac{EF}{AC}$

$3$, Đường thẳng $MN$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HP$

Câu $5$, 

$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$

$2$, Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=60^0,BC=2\sqrt{3}cm$. Bên trong tam giác này cho $13$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $13$ điểm ấy luôn tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1cm$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow (a+b)c=ab$

Gỉa sử $a+b$ là số nguyên tố. Suy ra $a+b=ab$(vi $a+b>c)

$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$$\Leftrightarrow a=b=2$

  $a+b=4$. Vậy a+b ko thể là SNT

[anhtukhon1]

1)

$2(x^{2}+x+18)+x^{2}+13x-14-(x^{2}+x+18)\sqrt{3x+1}=(x^{2}+x+18)(2-\sqrt{3x+1})+(x^{2}+14x-x-14)=(x^{2}+x+18)\frac{4-3x-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3x+1}}+x(x+14)-(x+14)=(x^{2}+x+18)\frac{3-3x}{2+\sqrt{3x+1}}+(x-1)(x+14)=(x-1)(x+14-\frac{3(x^{2}+x+18)}{2+\sqrt{3x+1}})=0\Rightarrow ...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 28-02-2016 - 15:54

[minhrongcon2000]

Câu $5$, 

$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$

$pt\Leftrightarrow 3^{x}=y^{3}+1=(y+1)(y^{2}-y+1)$

Đến đây thì dễ dàng rồi!

[quanganhthanhhoa]

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow (a+b)c=ab$

Gỉa sử $a+b$ là số nguyên tố. Suy ra $a+b=ab$(vi $a+b>c)

$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=1$$\Leftrightarrow a=b=2$

  $a+b=4$. Vậy a+b ko thể là SNT

Đoạn này sai,từ $a+b$ là số nguyên tố nếu trừ khả năng $a+b=2$ ra thì $a+b$ lẻ do đó $a,b$ có 1 số chẵn và 1 số lẻ khi đó làm sao bạn có được $a+b=ab$ với 2 vế khác nhau về tính chẵn lẻ?

 

[hoctrocuaHolmes]

ĐỀ BÀI

Câu $1$, 

$1$,

Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.

$2$,

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng $a+b$ không thể là số nguyên tố.

Câu $2$,

$1$,

Giải phương trình : $3x^2+15x+22-(x^2+x+18)\sqrt{3x+1}=0$

$2$,

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$

Câu $3$,

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{1+a^3}{a+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}$

$2$, Cho tam giác $ABC$ nhọn có $\widehat{BAC}=60^0,BC=2\sqrt{3}cm$. Bên trong tam giác này cho $13$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong $13$ điểm ấy luôn tìm được $2$ điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1cm$

Câu 3:

Áp dụng AM-GM:$ab^{2}\leq \frac{a^{3}+b^3+b^3}{3}=\frac{a^{3}+2b^3}{3}\Rightarrow 1+ab^{2}\leq \frac{a^{3}+2b^3+3}{3}\Rightarrow \frac{1+a^3}{1+ab^2}\geq \frac{3(1+a^3)}{a^{3}+2b^3+3}$

Tương tự $P\geq \sum \frac{3(1+a^3)}{a^{3}+2b^3+3}$

Đặt $a^{3}=x;b^3=y;c^3=z(x,y,z>0)$,áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$\sum \frac{3(1+x)^{2}}{(x+2y+3)(x+1)}\geq \frac{3(x+y+z+3)^{2}}{(x+y+z)^{2}+6(x+y+z)+9}=\frac{3(x+y+z+3)^{2}}{(x+y+z+3)^{2}}=3$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

[nganha2001]

ĐỀ BÀI

Câu $1$, 

$1$,

Cho $x=\sqrt[3]{2}+1$ . Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức $P=5x^5-15x^4+14x^3-12x^2-3x+2016$.

 

$x=\sqrt[3]{2}+1 \Leftrightarrow x-1=\sqrt[3]{2}$

$\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^{3}=2\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1=2$

$\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-3=0$

$P=5x^{5}-15x^{4}+14x^{3}-12x^{2}-3x+2016$

$\Leftrightarrow P=\left ( x^{3}-3x^{2}+3x-3 \right )\left ( 5x^{2}-1 \right )+2013$

do $x^{3}-3x^{2}+3x-3=0$ $\Rightarrow P=2013$

[ngochapid]

1)

$2(x^{2}+x+18)+x^{2}+13x-14-(x^{2}+x+18)\sqrt{3x+1}=(x^{2}+x+18)(2-\sqrt{3x+1})+(x^{2}+14x-x-14)=(x^{2}+x+18)\frac{4-3x-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3x+1}}+x(x+14)-(x+14)=(x^{2}+x+18)\frac{3-3x}{2+\sqrt{3x+1}}+(x-1)(x+14)=(x-1)(x+14-\frac{3(x^{2}+x+18)}{2+\sqrt{3x+1}})=0\Rightarrow ...$

bạn xử lý trường hợp hai như thế nào? lưu ý là không được sử dụng máy tính cầm tay

thật ra ở th2 vẫn có nghiệm là 1?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngochapid: 28-02-2016 - 21:27

[Rias Gremory]

1)

$2(x^{2}+x+18)+x^{2}+13x-14-(x^{2}+x+18)\sqrt{3x+1}=(x^{2}+x+18)(2-\sqrt{3x+1})+(x^{2}+14x-x-14)=(x^{2}+x+18)\frac{4-3x-1}{\sqrt{2}+\sqrt{3x+1}}+x(x+14)-(x+14)=(x^{2}+x+18)\frac{3-3x}{2+\sqrt{3x+1}}+(x-1)(x+14)=(x-1)(x+14-\frac{3(x^{2}+x+18)}{2+\sqrt{3x+1}})=0\Rightarrow ...$

Chắc bạn bị nhầm, bài này có nghiệm kép $1$ và nghiệm $\frac{8}{3}$ . Liên hợp 2 nghiệm $1$ và $\frac{8}{3}$ trước rồi giải quyết nghiệm $1$ còn lại , nó khá dễ so với việc liên hợp $3$ nghiệm , còn bài của bạn thì chưa hoàn chỉnh !

[anhtukhon1]

Chắc bạn bị nhầm, bài này có nghiệm kép $1$ và nghiệm $\frac{8}{3}$ . Liên hợp 2 nghiệm $1$ và $\frac{8}{3}$ trước rồi giải quyết nghiệm $1$ còn lại , nó khá dễ so với việc liên hợp $3$ nghiệm , còn bài của bạn thì chưa hoàn chỉnh !

lúc ý em đi học vội quá

Em giải nốt

$(x+14)(\sqrt{3x+1}+2)=3(x^{2}+x+18)\Leftrightarrow (x+14)(\sqrt{3x+1}-2)=3x^{2}-x-2\Leftrightarrow (x+14)\frac{3x-3}{\sqrt{3x+1}+2}-(x-1)(3x+2)=0\Leftrightarrow (x-1)(\frac{3(x+14)}{\sqrt{3x+1}+2}-(3x+2))=0\Rightarrow ...\Rightarrow 3x+42=(3x+2)(\sqrt{3x+1}+2)\Leftrightarrow -12x+32=(3x+2)\frac{3x-8}{\sqrt{3x+1}+3}\Leftrightarrow (3x-8)\frac{3x+2}{\sqrt{3x+1}+3}+4$

[Rias Gremory]

$2$,

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+2x=1 \\ xy+y+2x+x^2=y^2 \end{matrix}\right.$

$(1)-2.(2)$ ta được : 

$(y-x-1)(3y+x+1)=0$ 

 

Lề : Tìm được cái này nhanh chóng thì có một thủ thuật nhỏ , sẽ chia sẻ cái thủ thuật này trong time tới

[dreamcatcher170201]

$(1)-2.(2)$ ta được : 

$(y-x-1)(3y+x+1)=0$ 

 

Lề : Tìm được cái này nhanh chóng thì có một thủ thuật nhỏ , sẽ chia sẻ cái thủ thuật này trong time tới

Bài này thự ra là người ta đổi x thành x+1 cho phương trình thêm rắc rối thôi.khi mình ặt x+1=a thì thì hệ sẽ thành hệ đẳng cấp bình thường.đơn giản mà

[vungocquanghuy2000]

Quotes: mọi hệ bậc hai thuần túy như này có thể giải tại đây

[Rias Gremory]

Bài này thự ra là người ta đổi x thành x+1 cho phương trình thêm rắc rối thôi.khi mình ặt x+1=a thì thì hệ sẽ thành hệ đẳng cấp bình thường.đơn giản mà

Thủ thuật không chỉ xoay quanh những dạng này bạn nhé  

 

Quotes: mọi hệ bậc hai thuần túy như này có thể giải tại đây

UCT thì hơi rắc rối và mất time một tí , nếu thi đại học thì nên tập trung vào câu bất hơn chút chút thời gian , nên nếu gặp hệ kiểu này , dùng thủ thuật nhỏ Casio thì sẽ tiện hơn !!

[ineX]

Thủ thuật không chỉ xoay quanh những dạng này bạn nhé

 

UCT thì hơi rắc rối và mất time một tí , nếu thi đại học thì nên tập trung vào câu bất hơn chút chút thời gian , nên nếu gặp hệ kiểu này , dùng thủ thuật nhỏ Casio thì sẽ tiện hơn !!

thủ thuật là gì vậy, bạn có thể chia sẻ được không

[superpower]

 

$1$, Tìm các số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn $3^x-y^3=1$

 

Mình sẽ giải trọn vẹn câu PTNN

Nhận xét 1: $y-2 \vdots 3 $

Ta có $x=v_3(y^3+1) = v_3(y+1) + v_3(3) = v_3(y+1)+1$

Do đó, ta có $3^x = y^3+1= (y+1)(y^2-y+1)$

Khi đó, ta có $y+1 = 3^a $, và $y^2-y+1=3^b $ với  $a+b=x $

Mà $v_3(y+1) =x-1 => y^2-y+1= 3=> y=2 $

Thử lại thõa

Do đó , $(x,y)=(2;3) $

[Rias Gremory]

thủ thuật là gì vậy, bạn có thể chia sẻ được không

Hồi trưa mình đã soạn xong 1 mảng rồi , khi nào xong thì sẽ chia sẻ cho cả diễn đàn luôn !!

[NoEmotion]

ai làm được câu c hình chỉ mình với