Chủ đề này có 3 trả lời

[anny anh]

Chứng minh rằng n^4+4^n là hợp số với mọi n là số tự nhiên, n>1 

[superpower]

Chứng minh rằng n^4+4^n là hợp số với mọi n là số tự nhiên, n>1 

Nếu $n$ chẵn thì cái tổng chia hết cho 2

Nếu $n$ lẻ thì

Phân tích nhân tử

Ta có $n^4 + 4^n = (n^2)^2 + (2^n)^2 + 2.n^2.2^n - 2.n^2.2^n = (n^2+2^n)^2 - n^2.2^{n+1} = (n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}})(n^2+2^n +n.2^{\frac{n+1}{2}}) $

Ta chỉ cần chứng minh cả 2 thừa số đều lớn hơn 1 là được

Tức là ta chứng minh $n^2+2^n -n.2^{\frac{n+1}{2}} \geq 1 $

Tương đương với $n^2+2^{n+1} -2n.2^{\frac{n+1}{2}} + n^2 \geq 2 $ ( nhân 2 cho 2 vế )

BĐT $<=> (n - 2^{\frac{n+1}{2}} )^2 + n^2 \geq 2 $ đúng với $n$ lẻ và $n \geq 3 $ 

Vậy, ta có điều phải chứng minh

[Bui Thao]

đúng thì  nha bạn:

nếu n chẵn thì a chắn và lớn hơn 2 nên a là hợp số

nếu n lẻ thì n= 2k+1 (k$\in$Z, k$\geq 1$) nen:

a= n⁴+ 4ⁿ= n⁴+ 4^2k+1= n⁴+ (2^2k+1)²= (n²+ 2^2k+1)²- n².2^2k+2= (n²+ 2^2k+1+ n.2^k+1).(n²+ 2^2k+1- n.2^k+1)

AD BDT Cô-si ta có

n²+ 2^2k+1$\geq 2n.\sqrt{2^2k+1}$= n$\sqrt{2^2k+3}$$>$n$\sqrt{2^2k+2}$= n.2^k+1

=> n²+ 2^2k+1$\geq$ n.2^k+1+1 

=>n²+ 2^2k+1- n.2^k+1$>$ 1 (dau bang ko xay ra)

từ đó suy ra a cũng là hợp số

[Bui Thao]

hi cho mk đăng nốt cái này cho đủ 20 posts nha