Chủ đề này có 6 trả lời

[Ego]

Cho $n$ là số nguyên dương. CMR $\text{gcd}(2^{n} - 1; 3^{n} + 2) = 1$

[minhrongcon2000]

Cho $n$ là số nguyên dương. CMR $\text{gcd}(2^{n} - 1; 3^{n} + 2) = 1$

Mình làm thế này không biết đúng không?

Đặt $d=(2^{n}-1,3^{n}+2)$. Dễ thấy d lẻ.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{n}-1 \vdots d\\ 3^{n}+2 \vdots d \end{matrix}\right.$ (1)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 6^{n}-3^{n} \vdots d\\ 6^{n}+2^{n+1} \vdots d \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^{n+1}-3^{n} \vdots d$ (2)

Mặt khác, từ (1) ta suy ra được 

$\left\{\begin{matrix} 2^{n+1}-2 \vdots d\\ 3^{n}+2 \vdots d \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^{n+1}+3^{n} \vdots d$ (3)

Từ (2) và (3), ta có $\left\{\begin{matrix} 2^{n+1}-3^{n} \vdots d\\ 2^{n+1}+3^{n} \vdots d \end{matrix}\right. $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{n+2} \vdots d\\ 2.3^{n} \vdots d \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^{n+2} \vdots d\\ 3^{n} \vdots d \end{matrix}\right.$

Đến đây, dễ thấy nếu d>1 thì d phải vừa chẵn vừa lẻ (vô lí).

Do đó d=1.

[Ego]

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 6^{n}-3^{n} \vdots d\\ 6^{n}+2^{n+1} \vdots d \end{matrix}\right. \Rightarrow 2^{n+1}-3^{n} \vdots d$ (2)

Tại sao có dòng này?

[minhrongcon2000]

Tại sao có dòng này?

Mình nhân $2^{n}$ vào mỗi phương trình thôi bạn 

[Ego]

Không phải, ý mình là tại sao lại suy ra được, vì nếu như bạn nói $d\mid (6^{n} - 3^{n}) - (6^{n} + 2^{n + 1}) = -(2^{n + 1} + 3^{n})$. Đâu phải như cái (2) mà bạn nói?!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 28-02-2016 - 18:57

[minhrongcon2000]

Không phải, ý mình là tại sao lại suy ra được, vì nếu như bạn nói $d\mid (6^{n} - 3^{n}) - (6^{n} + 2^{n + 1}) = -(2^{n + 1} + 3^{n})$. Đâu phải như cái (2) mà bạn nói?!

Ah! Mình lộn!

[Visitor]

Cho $n$ là số nguyên dương. CMR $\text{gcd}(2^{n} - 1; 3^{n} + 2) = 1$

Bài này quá khó, bối rối quá. Ego post lời giải được ko.