Chủ đề này có 1 trả lời

[ngochapid]

Cho tam giác $ABC$ không đều,có các cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$.Gọi các điểm $I$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác $ABC$.Chứng minh rằng nếu $IG$ vuông góc với $IC$ thì $6ab=(a+b)(a+b+c)$

[toannguyenebolala]

Cho tam giác $ABC$ không đều,có các cạnh $BC=a;CA=b;AB=c$.Gọi các điểm $I$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm của tam giác $ABC$.Chứng minh rằng nếu $IG$ vuông góc với $IC$ thì $6ab=(a+b)(a+b+c)$

Bạn tự vẽ hình ($IG \perp IC$).

Đường thẳng IG cắt AC và BC lần lượt tại D và E.

Từ G vẽ GM và GN lần lượt vuông góc với AC và BC.

Ta có: 

Tam giác CDE cân tại C.

$S_{CGD}=\frac{CD.GM}{2}$

$S_{CGE}=\frac{CE.GN}{2}$

=>$S_{CGD}+S_{CGE}=\frac{(GM+GN)CD}{2}=S_{CDE}=\frac{CD.r}{2}=>GM+GN=r$

Lại có: $S_{CGB}=S_{CGA}=\frac{1}{3}S_{ABC}=>\frac{\frac{2}{2}S_{ABC}}{a}+\frac{\frac{2}{3}S_{ABC}}{b}=\frac{4S_{ABC}}{a+b+c}<=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{6}{a+b+c}<=>6ab=(a+b)(a+b+c)$ (điều cần chứng minh).