Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $0\leq x\leq 1;0\leq y\leq 2;x+y+z=6$. CMR:
$(x+1)(y+1)(z+1)\geq 4xyz$
$(x+1)(y+1)(z+1)\geq 4xyz$
Bắt đầu bởi bestmather, 28-02-2016 - 20:30
#1
Đã gửi 28-02-2016 - 20:30
bestmather
-
- Thành viên
-
- 203 Bài viết
Thượng sĩ
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
#3
Đã gửi 07-03-2016 - 20:13
phamngochung9a
-
- Điều hành viên THPT
-
- 480 Bài viết
Sĩ quan
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $0\leq x\leq 1;0\leq y\leq 2;x+y+z=6$. CMR:
$(x+1)(y+1)(z+1)\geq 4xyz$
Khai triển và rút gọn, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$xy+yz+zx+7\geq 3xyz\\\Leftrightarrow xy(1-3z)+z(6-z)+7\geq 0$
Từ đề bài, ta có: $z\geq 3$$\Rightarrow 1-3z< 0$
Mặt khác:
$xy=\frac{1}{2}.2x.y\leq \frac{1}{8}(2x+y)^{2}\leq \frac{1}{8}(x+y+1)^{2}=\frac{1}{8}(7-z)^{2}$
Vậy:
$xy(1-3z)+z(6-z)+7\geq \frac{(7-z)^{2}(1-3z)}{8}+z(6-z)+7$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{(7-z)^{2}(1-3z)}{8}+z(6-z)+7\geq 0\\\Leftrightarrow -3z^{3}+35z^{2}-113z+105\geq 0\\\Leftrightarrow (7-z)(z-3)(3z-5)\geq 0(*)$
$(*)$ luôn đúng do $3\leq z< 6$
- E. Galois, quangtq1998 và tranductucr1 thích
#4
Đã gửi 24-05-2021 - 21:30
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Lời giải. https://diendantoanh...-a1b1c1ge-4abc/
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
