Chủ đề này có 2 trả lời

[Thanh Nguyen NB]

Cho a,b,c la các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3CMR  $\frac{a+1}{b^{2}+1} + \frac{b+1}{c^2+1{}} + \frac{c+1}{a^2+1{}} \geq 3$

[quangnghia]

Cho a,b,c la các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3CMR  $\frac{a+1}{b^{2}+1} + \frac{b+1}{c^2+1{}} + \frac{c+1}{a^2+1{}} \geq 3$

Ta có $\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{b(a+1)}{2}\geq a-\frac{b}{2}+1-\frac{ab}{2}$

Thực hiện tương tự ta thu được:

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{a+b+c}{2}+3-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{2}+3-\frac{1}{2}.3\geq 3$

[Bui Thao]

goi tong tren la S

theo BDT co-si co $abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}=1$

$\frac{a+1}{1+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}-1}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab^{2}-1}{2b}=a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}$

tg tu ta co$\frac{b+1}{c^{2}+1}\geq b-\frac{bc}{2}+\frac{1}{2c};\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq c-\frac{ac}{2}+\frac{1}{2a}$

=> S$\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}+\frac{ab+bc+ac}{2abc}$

mat # $ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

=> dpcm dau '=' xay ra khi a=b=c=1

dung thi like nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Thao: 29-02-2016 - 12:57