Chủ đề này có 1 trả lời

[halloffame]

Cho dãy số nguyên dương $(u_{n})$ thoả $u_{1}\neq1$ và $u_{n+1}$ là số nhỏ nhất không nguyên tố cùng nhau với $u_{n}$ mà khác $u_{1},u_{2},...,u_{n}.$ Chứng minh mọi số nguyên dương khác $1$ đều xuất hiện trong $(u_{n}).$

[Visitor]

Cho dãy số nguyên dương $(u_{n})$ thoả $u_{1}\neq1$ và $u_{n+1}$ là số nhỏ nhất không nguyên tố cùng nhau với $u_{n}$ mà khác $u_{1},u_{2},...,u_{n}.$ Chứng minh mọi số nguyên dương khác $1$ đều xuất hiện trong $(u_{n}).$

Bài này hay thật

+,Đầu tiên ta đi chứng minh dãy chứa vô hạn số nguyên tố.

Thật vậy, giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố thuộc dãy là $p_1,p_2,...p_n$,$p_1=min(p_i)$

Khi đó tất cả các số thuộc dãy $u_n$ chỉ có các ước nguyên tố là các số trên, tức là có dạng $p_{1}^{\alpha _1}p_{2}^{\alpha _2}...p_{n}^{\alpha _n}$

mà dãy $u_n$ là dãy vô hạn nên đến một lúc nào đó sẽ có $1$ số $k$ để mà $p_{1}^{k}> q.p_1p_2...p_n$ , $q\neq p_i$

do đó $ q.p_1p_2...p_j$ sẽ thuộc dãy suy ra $q$ cũng thuộc dãy này, vô lí.

+,Tiếp theo ta chứng minh mọi số chẵn $2k$ thuộc dãy bằng qui nạp.

Dễ thấy $2,4 \in u_n$

Giả sử đúng đến $k=t$ ta chứng minh đúng với $k=t+1$. Do nhận xét đầu tiên nên sẽ có số nguyên tố $q \in u_n$ mà $q>2(t+1)$

Đặt $q= u_m$. Nếu tồn tại $1\leq h\leq m-1$ sao cho $u_h=2q$, mà $q>2(t+1)$ suy ra $u_{h+1}=2(t+1)$

Nếu ko tồn tại $u_h$ như ở trên thì $u_{m+1}=2q\Rightarrow u_{m+1}=2(t+1)$

Vậy qui nạp xong.

+,Cuối cùng ta qui nạp mọi số nguyên dương đều xuất hiện trong $u_n$

bước cơ sở bỏ qua. 

giả sử đúng đến $t$ ta cm đúng vs $t+1$, thật vậy : lấy ra $a_l=2(t+1)$, mà mọi số từ $2$ đến $t$ đều xuất hiện trong $u_n$ rồi nên mọi ước của $t+1$ đã xuất hiện , do đó $a_{l+1}=t+1$

+, kết thúc 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 09-03-2016 - 21:49