Chủ đề này có 2 trả lời

[ducvipdh12]

cho $x,y,z >0$
$x^3+y^3-z^3=0$
CMR:
$x^2+y^2-z^2-6(x-z)(z-y)>0$

P/s: bài toán này mình chế lại đề khối B năm 2014

[Nguyenhuyen_AG]

cho $x,y,z >0$
$x^3+y^3-z^3=0$
CMR:
$x^2+y^2-z^2-6(x-z)(z-y)>0$

P/s: bài toán này mình chế lại đề khối B năm 2014

 

Xin trích dẫn lại một topic cũ của anh Cẩn về bài toán này.

 

 

Mấy ngày gần đây, các thầy ở trường Lý Tự Trọng (trường cũ của tôi) có cho các em học sinh lớp 10 làm bài toán sau - mà tôi nhớ là đề thi Indian Mathematical Olympiad 2009 (và qua kiểm tra lại, tôi đã xác thực được nó đúng là đề toán trong kỳ thi này):

Bài toán 1. Cho $a,\;b,\;c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3=c^3.$ Chứng minh rằng
$$a^2+b^2-c^2 >6(a-c)(b-c).$$
Hôm qua, khi trao đổi với các em lớp 10, tôi có gợi ý cho các em là chuẩn hóa $c=1$ để đưa bài toán về dạng hai biến và có thể chứng minh bằng phép đặt Viette. Rồi sau đó, em Đức sau khi giải xong đã nói với tôi là có một cách làm đơn giản hơn ở http://diendantoanho...showtopic=55263. Tôi vào xem và thực sự thấy bất ngờ với cách làm thú vị đó (vì tôi hoàn toàn không nghĩ ra trước đó).

Thế rồi, sau khi xem xét kỹ hơn một chút, tôi thấy rằng từ lời giải đó, ta hoàn toàn có thể tìm được một lời giải đơn giản cho bài toán tổng quát:

Bài toán 2. Cho $a,\;b,\;c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3=c^3.$ Tìm hằng số $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng
$$a^2+b^2-c^2 \ge k(a-c)(b-c).$$
Có thể dễ dàng dự đoán được $k=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+2$ (với dấu bằng khi $a=b=1,\; c=\sqrt[3]{2}$) là số cần tìm và ta có thể tiến hành tương tự lời giải trên để đi đến đáp số này. Tôi đã đề nghị em Đức làm thử bài toán 2 (tất nhiên, tôi đã giấu đi và không nói với em rằng có thể áp dụng ý tưởng của http://diendantoanho...showtopic=55263 để giải bài toán này).

Tất nhiên, trong trường hợp em không làm được thì tôi vẫn có thể nói là áp dụng ý tưởng như vậy như vậy. Nhưng mà, dù sao trong lòng mình, tôi vẫn muốn có một cái gì đó của riêng bản thân mình. Và vì vậy, tôi đặt cho mình câu hỏi: Liệu có còn lời giải đẹp nào khác không? Rồi thử đi tìm cho mình lời giải đáp. Và cuối cùng, tôi đã tìm được cho mình một lời giải khá ưng ý mà tôi muốn chia sẻ cùng các bạn. Đó chính là lí do tôi mở topic này.

 

Sau đây là lời giải của tôi cho hằng số $k$ tốt nhất, tức $k=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+2.$

 

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$$a^2 \ge k(a-c)(b-c)+c^2-b^2=(c-b)\left[ (k+1)c+b-ka\right],$$
$$a^2(b^2+bc+c^2) \ge (c^3-b^3)\left[ (k+1)c+b-ka\right]=a^3\left[ (k+1)c+b-ka\right],$$
$$b^2+bc+c^2 \ge a\left[ (k+1)c+b-ka\right],$$
$$ka^2+b^2+c^2-ab- ( k + 1 ) ac +bc \geq 0. \quad (1)$$
Biến đổi tương tự (thay vì đảo vế $b^2-c^2,$ ta thực hiện cho $a^2-c^2$), ta cũng thu được
$$a^2+kb^2+c^2-ab- ( k + 1 ) bc +ac \geq 0. \quad (2)$$
Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức $(1)$ và $(2),$ ta được
$$(k+1)(a^2+b^2)+2c^2-2ab-k(ac+bc) \ge 0. \quad (3)$$
Mặt khác, bằng phép khai triển trực tiếp bất đẳng thức đã cho ban đầu, ta thấy rằng nó tương đương với
$$a^2+b^2-c^2 \ge k(ab-ac-bc+c^2),$$
$$a^2+b^2-(k+1)c^2-kab+k(ac+bc) \ge 0. \quad (4)$$
Cộng $(3)$ và $(4)$ lại theo vế, ta thu được
$$(k+2)(a^2-ab+b^2) -(k-1)c^2 \ge 0,$$
hay tương đương
$$(k+2)(a^2-ab+b^2) \ge (k-1)c^2=(k-1)\sqrt[3]{(a^3+b^3)^2}=(k-1) \sqrt[3]{(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2}.$$
Thu gọn lại, ta có
$$(k+2)^3(a^2-ab+b^2) \ge (k-1)^3(a+b)^2.$$
Bất đẳng thức này đúng do $a^2-ab+b^2 \ge \frac{1}{4}(a+b)^2$ và với $k=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+2$ thì $\frac{1}{4}(k+2)^3=(k-1)^3.$
Bài toán được chứng minh xong.

 

Điều tôi muốn nói qua bài này, đó là: Đôi khi việc tự đặt cho mình những câu hỏi khó (chẳng hạn như tìm lời giải mới cho một bài toán cũ) lại đưa ta đến những kết quả thú vị, khó ngờ. Xin chúc các bạn thành công trong việc học Toán, một môn học ẩn chứa nhiều điều thú vị và hấp dẫn.

 

Cuối cùng, xin mời các bạn cùng đi tìm lời giải đơn giản cho bài toán sau:

Bài toán 3. Cho $a,\;b,\;c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3=c^3.$ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\frac{(a+b-c)^3}{c(a-c)(b-c)}.$$ Bài toán này được tôi lấy cảm hứng trong quá trình đi tìm lời giải khác cho bài toán 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 02-03-2016 - 14:57

[quoccuonglqd]

Anh Huyện cho em hỏi chút được không ạ

Theo như bài giải trên thì ta cần chứng minh (3) đúng để có thể suy ra (1) hoặc (2) đúng,trong khi đó (4) luôn đúng,sao ta có thể dùng phép cộng (3)+(4) để chứng minh được ạ,có vẻ nó bị ngược dấu thì phải