Chủ đề này có 3 trả lời

[Dung Du Duong]

1, Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac{x^7 - 1}{x - 1} = y^5 - 1$

 

2, CMR: nếu N là số hoàn hảo chẵn thì N là số Tam giác: N = $\frac{t(t+1)}{2}$, t nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 01-03-2016 - 20:19

[anhquannbk]

1, Giải phương trình nghiệm nguyên: $\frac{x^7 - 1}{x - 1} = y^5 - 1$

 

2, CMR: nếu N là số hoàn hảo chẵn thì N là số Tam giác: $\frac{t(t+1)}{2}$, t nguyên dương

Câu 1 IMO shortlist 2006 N5

[hoanglong2k]

 Câu 2. Do $N$ chẵn nên $N$ có dạng $2^k.r$ với $k\geq 1$ và $r$ lẻ.

Mặt khác $N$ là số hoàn hảo nên  $2N=\sigma (N)\Leftrightarrow 2^{k+1}m=\sigma(2^k).\sigma(m)=\left ( 2^{k+1}-1 \right )\sigma(m)\Rightarrow \sigma(m)=m+\dfrac{m}{2^{k+1}-1}\Rightarrow 2^{k+1}-1|m$

 Nếu $m=2^{k+1}-1$ thì ta có $N=2^k(2^{k+1}-1)=\dfrac{2^{k+1}(2^{k+1}-1)}{2}$ là số hoàn hảo

 Nêu $m=(2^{k+1}-1)l$ với $l\geq 2$ thì $l|m;1|m;m|m$, khi đó $m+l=\sigma (m)\geq m+l+1$ vô lí

 Vậy ta có điều cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 01-03-2016 - 20:56

[Namthemaster1234]

Câu 1: Gọi $p$ là ước của $y^5-1$ thì $p=7$ hoặc $p \equiv 1 (mod 7)$ . Như vậy mọi ước của $y^5-1$ đều chia hết cho 7 hoặc chia 7 dư 1. Xét TH và dễ thấy phương trình vô nghiệm