Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
RealCielo

RealCielo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

1,Cho 3 số dương a,b,c lớn hơn 0, abc=1.Tìm Min:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}$

2,Cho 3 số dương a,b,c có abc=1.Tìm max:

$\sum \frac{a}{(a+1)^2}-\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

3,Cho x,y,z>0.Tìm max:

A= $\sum \frac{yz}{y^2+yz+xz}$



#2
haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết

1,Cho 3 số dương a,b,c lớn hơn 0, abc=1.Tìm Min:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}$

2,Cho 3 số dương a,b,c có abc=1.Tìm max:

$\sum \frac{a}{(a+1)^2}-\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

3,Cho x,y,z>0.Tìm max:

A= $\sum \frac{yz}{y^2+yz+xz}$

Bài 3: Ta có:

$\frac{yz}{y^2+yz+xz}=\frac{yz(\dfrac{x}{z}+1+\dfrac{z}{y})}{(y^2+yz+xz)(\dfrac{x}{z}+1+\dfrac{z}{y})}\leq \frac{xy+yz+z^2}{(x+y+z)^2}$

Tương tự cộng vế theo vế ta được:

$VT\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}{(x+y+z)^2}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 02-03-2016 - 18:14

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

2) Ta c/m $VT \le \frac{1}{4}$. Thật vậy
Đặt $x=\frac{1-a}{1+a},y=\frac{1-b}{1+b},z=\frac{1-c}{1+c}$ 
Suy ra $-1<x,y,z<1$ và $a=\frac{1-x}{1+x},b=\frac{1-y}{1+y},c=\frac{1-z}{1+z}$  
Vì $(1-x)(1-z)(1-y)=(1+x)(1+y)(1+z) \Rightarrow x+y+z+xyz=0$
Mặt khác $\frac{4a}{(a+1)^2}=1-x^2,\frac{2}{a+1}=1+x$ nên BĐT cần c/m là : 
$1-x^2+1-y^2+1-z^2 \le 1+2(1+x)(1+y)(1+z)$ 
$\Leftrightarrow \sum x^2+\sum 2xy+2(x+y+z+xyz) \ge 0$ 
Hay $(x+y+z)^2 \ge 0$ (always true) 
BĐT đc c/m


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 02-03-2016 - 19:44


#4
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

1,Cho 3 số dương a,b,c lớn hơn 0, abc=1.Tìm Min:
$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}$
2,Cho 3 số dương a,b,c có abc=1.Tìm max:
$\sum \frac{a}{(a+1)^2}-\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
3,Cho x,y,z>0.Tìm max:
A= $\sum \frac{yz}{y^2+yz+xz}$

 
 
1) 
Xét hàm $f(x) = \frac{x+3}{(x+1)^2} + \frac{3}{4}lnx $
$f'(x) = \frac{3}{4x} - \frac{x+5}{(x+1)^3} $
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = 0, x = \frac{1}{3} $
$\Rightarrow f(x) \ge f(1) = 1 $
$\Rightarrow \frac{x+3}{(x+1)^2} \ge \frac{-3}{4}lnx + 1 $
Thay $x = a,b,c$ rồi cộng vế với vế, ta được$ P \ge 3 $
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$



#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

1,Cho 3 số dương a,b,c lớn hơn 0, abc=1.Tìm Min:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2}$

 

Ta có: $\sum_{cyc}\frac{a+3}{(a+1)^2}-3=\frac{1}{2}\sum_{cyc}\frac{(ab^2c+3)(a-b)^2+ab(a+b+2c)(c-1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}\geqq 0$ 

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a+3}{(a+1)^2}\geqslant 3$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh