Tìm $(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}$:
$$9x^{2} + 6x + 10 = y^{3}$$
#1
Đã gửi 02-03-2016 - 19:19
#2
Đã gửi 05-03-2016 - 00:39
Tìm $(x, y) \in \mathbb{Z}^{2}$:
$$9x^{2} + 6x + 10 = y^{3}$$
$pt\Leftrightarrow (3x+1)^2+1=(y-2)(y^2+2y+4)$
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $y^2+2y+4$ thì $p|(3x+1)^2+1$
$\Rightarrow (\frac{-3}{p})= 1,(\frac{-1}{p})=1\Rightarrow \Rightarrow (\frac{3}{p})= 1$
suy ra $p\equiv \pm 1(mod12)\Rightarrow y^2+2y+4\equiv \pm 1(mod12)$
vô lí vì $ y^2+2y+4\not\equiv \pm 1(mod12)$
PT vô nghiệm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 05-03-2016 - 00:41
- PlanBbyFESN và Element hero Neos thích
__________
Bruno Mars
#3
Đã gửi 05-03-2016 - 19:53
Lời giải của bạn rất hay nhưng có chỗ không đúng. Lý do: Ký hiệu Legendre chỉ dùng cho số nguyên tố lẻ thôi$pt\Leftrightarrow (3x+1)^2+1=(y-2)(y^2+2y+4)$
Gọi $p$ là ước nguyên tố bất kì của $y^2+2y+4$ thì $p|(3x+1)^2+1$
$\Rightarrow (\frac{-3}{p})= 1,(\frac{-1}{p})=1\Rightarrow \Rightarrow (\frac{3}{p})= 1$
suy ra $p\equiv \pm 1(mod12)\Rightarrow y^2+2y+4\equiv \pm 1(mod12)$
vô lí vì $ y^2+2y+4\not\equiv \pm 1(mod12)$
PT vô nghiệm
Tuy nhiên vẫn có cách khắc phục: $y^{2} + 2y + 4 \vdots 2 \iff y \vdots 2 \iff x \vdots 2$. Mặt khác để ý $\text{VT} \equiv 2 \pmod{4}$ và $y^{3} \equiv 0\pmod{4}$. Vô lí, do đó $y^{2} + 2y + 4$ lẻ, áp dụng bài toán của bạn là xong.
P.s: mình có 1 ý tưởng khác xấu xí tí. :-). À Visitor này, mình hỏi riêng bạn chuyện này được không nhỉ?
- PlanBbyFESN, misakichan và yeutoan2001 thích
#4
Đã gửi 05-03-2016 - 20:04
Lời giải của bạn rất hay nhưng có chỗ không đúng. Lý do: Ký hiệu Legendre chỉ dùng cho số nguyên tố lẻ thôi
Tuy nhiên vẫn có cách khắc phục: $y^{2} + 2y + 4 \vdots 2 \iff y \vdots 2 \iff x \vdots 2$. Mặt khác để ý $\text{VT} \equiv 2 \pmod{4}$ và $y^{3} \equiv 0\pmod{4}$. Vô lí, do đó $y^{2} + 2y + 4$ lẻ, áp dụng bài toán của bạn là xong.
P.s: mình có 1 ý tưởng khác xấu xí tí. :-). À Visitor này, mình hỏi riêng bạn chuyện này được không nhỉ?
lâu ko dùng Legendre quên mất :-)
P.s: ừ,bạn ib đi :-)
__________
Bruno Mars
#5
Đã gửi 23-04-2016 - 00:50
Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.
Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$
Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương
Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$
Đến đây bạn tự tính tiếp được
TLongHV
#6
Đã gửi 13-08-2016 - 11:37
Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.
Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$
Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương
Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$
Đến đây bạn tự tính tiếp được
Cho mình hỏi tại sao ở đây delta là SCP ko?
#7
Đã gửi 17-08-2016 - 20:51
Cho mình hỏi tại sao ở đây delta là SCP ko?
Vì $x,y$ của đề là nguyên nên trước hết phải để $x$ hữu tỉ trước.
Do đó Delta phải là SCP.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 17-08-2016 - 20:51
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#8
Đã gửi 17-08-2016 - 21:19
Mình chỉ vừa dạo qua, không biết bạn có lời giải bài này chưa, thôi cứ post lên vậy.
Pt <=> $9x^{2}+6x+10-y^{3}=0$
Ta có $\Delta = 36- 36(10-y^{3})$là số chinh phương => $y^{3}-29$là số chính phương => $9x^{2}+6x-19$là số chính phương
Đặt $9x^{2}+6x-19=a^{2} <=> 20=(3x+1-a)(3x+1+a )$
Đến đây bạn tự tính tiếp được
Delta phải ra là 36y^3 chứ nhỉ, sao lại có số 29, bạn gt giùm mk vs, tks bạn
#9
Đã gửi 19-08-2016 - 11:38
TLongHV
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh