Chủ đề này có 1 trả lời

[Hieutran2000]

Cho a,b,c>0 thoả mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a+b+c$.Chứng minh:

            $\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{1}{2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

 

[quoccuonglqd]

Bất đẳng thức tương đương 

$\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{(a+b+c)}{2}\geqslant \sum \frac{a}{b+c}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \sum \frac{b^{2}+c^{2}}{a}\geqslant \frac{a+b+c}{2}+3\sum \frac{a^{2}}{b+c}$

Áp dụng C-S

$\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{a}\geqslant \frac{1}{8}\sum \frac{(b+c)^{2}}{a}+\frac{3}{4}\sum \frac{b^{2}+c^{2}}{a}\geqslant \frac{a+b+c}{2}+3\sum \frac{a^{2}}{b+c}$