Chủ đề này có 4 trả lời

[Ego]

Cho $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ sao cho với mọi $a, b$ sao cho $a$ không là nghiệm của $P(x)$ thì $P(a + b) - P(b) \vdots P(a)$.
Bài đa thức này hay nhất trong MYTS năm nay :-)

[nguyentaitue2001]

Xét đa thức P(x)= $a_{n}$$x^{n}$+$a_{n-1}$$x^{n-1}$+....+$a_{1}$$x$+$a_{0}$

 Thay x=a+b và x=a vào rồi trừ ra thì bài toán ra ngay         

[Ego]

Bạn có thể cho lời giải cụ thể? Mình nghĩ nói thế thì ai nói cũng được 

[Ego]

Lời giải của mình

Spoiler

Các bạn cứ tiếp tục thảo luận tìm cách hay cho bài này nhá.
Ta sẽ làm việc trên các số nguyên lớn hơn nghiệm thực lớn nhất của $P(x)$, nghĩa là ta không cần quan tâm đến việc $P(\alpha) = 0$.
Để ý $P(x) = C$ là một nghiệm, xét $\deg{P} \ge 1$
Để ý là $P(x)$ là một nghiệm thì $-P(x)$ cũng là nghiệm, không mất tổng quát có thể giả sử hệ số cao nhất của $P(x)$ là dương.
Có $\lim_{x\to+\infty}P(x) = +\infty$, nghĩa là từ một lúc nào đó, đa thức của ta chỉ nhận giá trị dương (lớn hơn hẳn $P(1)$)
Theo đề bài, ta có $\frac{P(x + 1) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{Z}_{+} \implies \frac{P(x + 1) - P(x) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{N}$
Đặt $Q(x) = P(x + 1) - P(x)$
TH1. $\deg{P} \ge 2$. Khi đó $\deg{Q} = \deg{P} - 1 \ge 1$
Khi đó $\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} \in \mathbb{N}$, mặt khác, lại có $\lim_{x\to+\infty}\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} = 0$. Hay từ một chỉ số $x_{0}$ nào đó trở đi $\frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} < 1 \implies \frac{Q(x) - P(1)}{P(x)} = 0 \; \forall x \ge x_{0} \implies Q(x) - P(1) = 0 \forall x \ge x_{0}$. Nghĩa là một đa thức có $\deg{Q(x) - P(1)} = \deg{P(x)} - 1 \ge 1$ và có vô số nghiệm, vô lí.
TH2. $\deg{P} = 1$. Đặt $P(x) = ax + b (a > 0)$. Khi đó $\frac{ax}{ax + b} \in \mathbb{Z} \implies b = 0$. Hay $P(x) = ax$. Thử lại ta thấy hàm này thỏa.
Tóm lại, ta có $P(x) = C$ hay $P(x) = ax$.
P.s: :-P

[supermember]

Bạn có thể cho lời giải cụ thể? Mình nghĩ nói thế thì ai nói cũng được 

 

Đúng vậy, bạn Tài Tuệ này lên diễn đàn thể hiện thái độ cẩu thả khi post bài.

Nếu tái phạm sẽ nhận ngay án banned dài hạn