Chủ đề này có 2 trả lời

[Zaraki]

Chứng minh tồn tại vô hạn số trong dãy $1,31,331,3331, \cdots $ là hợp số. Tìm hợp số bé nhất trong dãy trên. 

 

[I Love MC]

Lời giải của em : 
Dãy được viết tổng quát như sau : $\frac{(10^{x+1}-10)}{3}+1$ với $x \in \mathbb{N}$
Ta sẽ chứng minh dãy vô hạn số chia hết cho $17$  
Thật vậy muốn như vậy thì $10^{x+1}-10 \equiv 16.3 \equiv 14 \pmod{17}$ 
Ta chọn $x=16k+8$ thì 
$10^{16k+9}-10 \equiv 10^9-10 \equiv 7-10 \equiv 14 \pmod{17}$ 
Như vậy ta chứng minh được tồn tại vô số hợp số trong dãy trên.  
Hợp số bé nhất là $333333331$
 

[I Love MC]

Một lời giải khác  : 
$31$ là số nguyên tố 
Theo FLT : $31|10^{30}-1$ 
Suy ra $31|10^{30k}-1$ 
Suy ra $31|(\frac{1}{3}(10^{30k}-1))$ Hay $31$ là ước số của bất cứ số nào gồm $30k$ chữ số $3$ . Đem số có $30k$ chữ số $3$ này nhân cho $100$ rồi cộng với $31$ ,ta đợc số có dạng một số nằm trong dãy và số này chia hết cho $31$ . Do đó trong dãy từ số $31$ trở về sau ,cứ cách $30$ số sẽ có một hợp số (chia hết cho $31$) . 
Hoàn tất chứng minh