Chủ đề này có 9 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

 

Câu 1 (5,5 điểm).

 

         1.Rút gọn biểu thức:$A=\frac{x+\sqrt{x^2-2x}}{x-\sqrt{x^2-2x}}-\frac{x-\sqrt{x^2-2x}}{x+\sqrt{x^2-2x}}$ (với $x\geq 2$)

 

         2.Giải phương trình : $4x^2+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$

 

         3.Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^3-x=x^2y-y & & \\ \sqrt{2(x^4+1)}-5\sqrt{x}+\sqrt{y}+2=0 & & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2 (5,0 điểm).

 

        Cho phương trình : $x^2+(m^2+1)x+m=2$ ( $m$ là tham số , $x$ là ẩn số)

 

        1.Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

 

        2.Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho $\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}=x_1x_2+\frac{55}{x_1x_2}$

 

Câu 3 (1,5 điểm).

 

        Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau đồng thời thỏa mãn $(z+x)(z+y)=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}\geq 4$$

 

Câu 4 (7,0 điểm).

 

        Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA,MB và cát tuyến MNP với đường tròn ( A,B là các tiếp điểm , N nằm giữa M và P ).Gọi H là giao điểm của AB và MO.

 

        1.Chứng minh Tứ giác NHOP nội tiếp đường tròn

     

        2.Kẻ dây cung PQ vuông góc với đường thẳng MO. Chứng minh ba điểm N,H,Q thẳng hàng

 

        3.Gọi E là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đường tròn (O) . Chứng minh NE là phân giác của $\widehat{MNH}$

 

Câu 5 (1,0 điểm).

 

        Tìm tất cả số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix}x^2-2y^2=9 &  & \\ 50<x<100 &  & \end{matrix}\right.$

 

HẾT

 

P/s : Hôm nay mới có thời gian gửi đề lên .Nhận xét về đề :" Đề năm nay dễ hơn nhiều so với năm ngoái.Dự là năm nay lắm điểm cao " .

 

Nguồn đề:Kim Vu

 

                     

[I Love MC]

Thi rồi ạ ,nhan thế ạ 
Câu 5 trước vậy :Xét phương trình  $2y^2-x^2+9=0$ 
Để phương trình này có nghiệm nguyên thì $\Delta=0^2+4(x^2-9).2$ là số chính phương 
Hay $2(x^2-9)$ phải là số chính phương. Dễ thấy $x \vdots 3$ vì nếu $x \not \vdots 3$ thì 
$2(x^2-9) \equiv 2 \pmod{3}$ 
Do đó $x=3k$ (1) 
Xét $x$ chẵn thì vì $2(x^2-9)$ là scp chẵn nên $x^2-9$ cũng phải chia hết cho $2$ hay $x$ lẻ 
Từ đó suy ra $k=2m+1$ 
$x=3(2m+1)=6m+3$  
Ta có $50<6m+3<100$ suy ra $8 \le  m \le 16$  
Đến đây thử các TH của $m$ cho ta $m=8$ suy ra  $x=51$ và $y=36$

[I Love MC]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

Câu 1 (5,5 điểm).

         1.Rút gọn biểu thức:$A=\frac{x+\sqrt{x^2-2x}}{x-\sqrt{x^2-2x}}-\frac{x-\sqrt{x^2-2x}}{x+\sqrt{x^2-2x}}$ (với $x\geq 2$)

         2.Giải phương trình : $4x^2+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$

         3.Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^3-x=x^2y-y(1) & & \\ \sqrt{2(x^4+1)}-5\sqrt{x}+\sqrt{y}+2=0 & & \end{matrix}\right.$

Câu 2 (5,0 điểm).

        Cho phương trình : $x^2+(m^2+1)x+m=2$ ( $m$ là tham số , $x$ là ẩn số)

        1.Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

        2.Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho $\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}=x_1x_2+\frac{55}{x_1x_2}$

Câu 3 (1,5 điểm).

        Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau đồng thời thỏa mãn $(z+x)(z+y)=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}\geq 4$$

 

 

                     

1) b) PT $\Leftrightarrow 4x^2+x+3-4\sqrt{x+3}x+2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=0$ 
$\Leftrightarrow (2x-\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{2x-1}-1)^2=0$ suy ra $x=1$ 
c) Đánh giá phương trình (1) có $(1-x)(x+1)(y-x)=0$ 
$x=-1$ thì vô lí vì $x \ge 0$ 
$x=1$ thì pt dưới suy ra $y=1$ 
$x=y$ thì thế vào ta có : $\sqrt{2(x^4+1)}-4\sqrt{x}+2=0$ 
Mà ta có $2(x^4+1) \ge 2.2x^2$ 
Suy ra $\sqrt{2(x^4+1)}-4\sqrt{x}+2 \ge 2x-4\sqrt{x}+2=2(\sqrt{x}-1)^2 \ge 0$ dấu bằng xảy ra khi $x=1$ khi đó $y=1$ 
Vậy $(x,y)=(1,1)$ là nghiệm duy nhất của hệ  
2) a) Xét $\Delta=(m^2+1)^2-4(m-2) \ge 4m^2-4m+8=(2m-1)^2+7>0$ suy ra đpcm 
b) Để nó xảy ra thì $m \ne 2$
Áp dụng Vieta : $x_1x_2=m-2,x_1+x_2=-(m^2+1)$ 
Ta có $\frac{2x_1-1}{x_2}+\frac{2x_2-1}{x_1}=\frac{2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2)}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{55}{x_1x_2}$ 
Dành cho các bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 05-03-2016 - 15:21

[nangcuong8e]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

 

 

Câu 3 (1,5 điểm).

 

        Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau đồng thời thỏa mãn $(z+x)(z+y)=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}\geq 4$$

 

 

 

P/s : Hôm nay mới có thời gian gửi đề lên .Nhận xét về đề :" Đề năm nay dễ hơn nhiều so với năm ngoái.Dự là năm nay lắm điểm cao " .

 

Nguồn đề:Kim Vu

 

                     

Đặt $z+x=a$ và $z+y=b$ thì dễ chứng minh được $a,b >0$ và $ab=1$

 Bây giờ ta phải chứng minh: $A = \frac{1}{(a-b)^2} +\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} \geq 4$

Xét $A = \frac{1}{(a-b)^2} +\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} =\frac{1}{(a-b)^2} +(a^2+b^2) =\frac{1}{(a-b)^2} +(a-b)^2+2$

$\Rightarrow A \geq 2 +2 =4$ (đpcm)
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow z+x =\frac{1+\sqrt{5}}{2}; z+y = \frac{-1 +\sqrt{5}}{2}$ và hoán vị của chúng

[Quoc Tuan Qbdh]

 

Câu 4 (7,0 điểm).

 

        Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA,MB và cát tuyến MNP với đường tròn ( A,B là các tiếp điểm , N nằm giữa M và P ).Gọi H là giao điểm của AB và MO.

 

        1.Chứng minh Tứ giác NHOP nội tiếp đường tròn

     

        2.Kẻ dây cung PQ vuông góc với đường thẳng MO. Chứng minh ba điểm N,H,Q thẳng hàng

 

        3.Gọi E là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đường tròn (O) . Chứng minh NE là phân giác của $\widehat{MNH}$

 

 Lời giải : 

 

1. Xét $\Delta MBP$ và $\Delta MNB$ có:

- $\angle BMP$ chung

- $\angle MPB = \angle MBN$
Do đó, $\Delta MBP \sim \Delta MNB(g.g)$

Suy ra $\frac{MB}{MP}=\frac{MN}{MB}$ nên $MB^{2}=MN.MP$
Mặt khác: Xét $\Delta MBO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$ ứng với cạnh huyền nên $MB^{2}=MH.MO$

Nên $MN.MP=MH.MO$ hay $\frac{MN}{MH}=\frac{MO}{MP}(1)$

Lại có $\Delta MNO$ và $\Delta MHP$ có chung $\angle OMP$ nên từ $(1)$ suy ra $\Delta MNO \sim \Delta MHP(c.g.c)$. Do vậy, ta có $\angle NOM = \angle HPM$

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

 

2. Ta có: $\Delta OPQ$ cân tại $O$ nên $OM \perp PQ$, cũng là đường trung trực của $PQ$ mà $H \in OM$ dẫn đến $HP=HQ$

Do đó, $\Delta HPQ$ cân tại $H$ có $HO$ là đường cao nên cũng là đường phân giác.

Do vậy, ta có $\angle OHQ=\angle OHP$ 

Mặt khác, $\angle PNO = \angle NPO$ vì $\Delta NPO$ cân tại $O$

Mà tứ giác $NHOP$ nội tiếp đường tròn nên $\angle OHP = \angle PNO$ và $\angle NPO+\angle OHN=180^{\circ}$

Nên, ta có $\angle OHQ+\angle OHN=\angle NPO+ \angle OHN=180^{\circ}$. Vậy ta có điều phải chứng minh

 

3. Để chứng minh $NE$ là phân giác của $\angle MNH$ ta cần chứng minh $\angle MNE=  \angle ENH$.Thật vậy,

Gọi $F$ là giao điểm thứ hai của $OM$ với $(O)$

Ta có tứ giác $EFPN$ nội tiếp $(O)$ nên $\angle MNE = \angle EFP(2)$

Lại có: $\angle ENH = \angle ENQ = \angle EPQ(3)$ 

Vì $\angle EPF$ chắn nửa $(O)$ nên $\Delta EPF$ vuông tại $P$ do đó $\angle EPQ = \angle EFP(4)$ (cùng phụ với $\angle PEF$)

Từ $(2)(3)(4)$ ta suy ra điều phải chứng minh.

[PhanLocSon]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

 

 

Câu 3 (1,5 điểm).

 

        Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau đồng thời thỏa mãn $(z+x)(z+y)=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}\geq 4$$

 

 

                     

Góp cho mọi người 1 bài vậy
BĐT $\Leftrightarrow \frac{1}{(x-y)^2}+(x+z)^2+(y+z)^2\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2\geq 4$ (đúng theo AM-GM)
Đẳng thức xảy ra $(x-y)^2=1$
Cái chỗ đẳng thức em thấy sao sao ý!

[PhanLocSon]

 

Câu 5 (1,0 điểm).

 

        Tìm tất cả số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix}x^2-2y^2=9 &  & \\ 50<x<100 &  & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

                     

Câu này là câu phân loại
Ta đưa về hệ:
$\left\{\begin{matrix} x^2-2y^2=1 & \\ 17\leq x\leq 33& \end{matrix}\right.$
Phương trình 1 chính là phương trình Pell. Nhưng tôi chưa tìm được cách phù hợp với học sinh THCS nên đành xét các trường hợp.
Tổng cộng có 8 TH của x (x lẻ) cũng như cách của bác Quang!

[PhanLocSon]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

 

Câu 1 (5,5 điểm).

         2.Giải phương trình : $4x^2+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$

 

 

 

$VT=4x^2+3x+3=4x^2+(x+3)+(2x-1)+1\geq 4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}=VP$
Chú ý điều kiện để phương trình xác định: $x\geq \frac{1}{2}$
Đẳng thức xảy ra $x=1$

[PhanLocSon]

            SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO                                              ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

                  TỈNH NINH BÌNH                                                                            NĂM HỌC 2015-2016

                                                                                                                                Môn:TOÁN

   $\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$                                                                          Ngày thi:02/03/2016

                                                                                                    Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

                                                                                                              Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang        

 

Câu 1 (5,5 điểm).

 

         3.Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^3-x=x^2y-y & & \\ \sqrt{2(x^4+1)}-5\sqrt{x}+\sqrt{y}+2=0 & & \end{matrix}\right.$

 

 

                     

Phương trình (1) của hệ đưa về $x=\pm 1 \vee x=y$, với TH1 & 2 thì dễ rồi
TH3 $\sqrt{2(x^4+1)}+2=4\sqrt{x}$
Ta có $VT\geq x^2+1+2=x^2+3\geq 4\sqrt{x}=VP$
Đẳng thức $x=1$. Lưu ý điều kiện để hệ xác định: $x,y\geq 0$

[tieubangngoc]

toàn bài làm rồi