Chủ đề này có 4 trả lời

[Frankesten]

Cho a,b,c là các số không âm, Chứng minh rằng:

$abc + a^2 + b^2 + c^2+5 \geq 3(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Frankesten: 06-03-2016 - 09:54

[phamngochung9a]

Cho a,b,c là các số không âm, Chứng minh rằng:

$abc + a^2 + b^2 + c^2 \geq 3(a+b+c)$

Dễ thấy BĐT sai ngay với $a=b=c=1$ 

[Frankesten]

Dễ thấy BĐT sai ngay với $a=b=c=1$ 

sorry bạn mình up nhầm thiếu +5. giờ thì đề đúng r giúp mk vs

[dogsteven]

Ta cần chứng minh: $2(a^2+b^2+c^2)+2abc+10\geqslant 6(a+b+c)$

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1, b-1, c-1$ phải có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử $(b-1)(c-1)\ge 0$

Khi đó $(a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1)\ge 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$

Do đó $VT\geqslant a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+9=(a+b+c)^2+9\geqslant 2.\sqrt{(a+b+c)^2.9}=6(a+b+c)$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 06-03-2016 - 10:30

[Frankesten]

Ta cần chứng minh: $2(a^2+b^2+c^2)+2abc+10\geqslant 6(a+b+c)$

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong ba số $a-1, b-1, c-1$ phải có hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử $(b-1)(c-1)\ge 0$

Khi đó $(a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1)\ge 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge 2(ab+bc+ca)$

Do đó $VT\geqslant a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+9=(a+b+c)^2+9\geqslant 2.\sqrt{(a+b+c)^2.9}=6(a+b+c)$

Ta có điều phải chứng minh.

THanks nhiều nha