Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\frac{IB.IC}{ID}=2r.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Đường tròn ($C$) tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $A',B',C'$.

     $1)$ Gọi các giao điểm của ($C$) với các đoạn $IA,IB,IC$ lần lượt tại $M,N,P$. Chứng minh rằng: Các đường thẳng $A'M,B'N,C'P$ đồng qui.

     $2)$ Kéo dài đoạn $AI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D$(khác $A$). Chứng minh rằng:$\frac{IB.IC}{ID}=2r$. Trong đó: $r$ là bán kính đường tròn ($C$).

Untitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 06-03-2016 - 09:17

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#2
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Dễ dàng chứng minh rằng cung $MB'$ bằng cung $MC'$, cung $PB'$ bằng cung $PA'$, cung $NA'$ bằng cung $A'P$( để ý các đường phân giác $IA,IB,IC$)

Như vậy theo tính chất hai góc chắn một cung bằng nhau trong một đường tròn thì bằng nhau nên ta có $\widehat{C'B'N}=\widehat{NB'A'};\widehat{C'A'M}=\widehat{B'A'M};\widehat{PC'A'}=\widehat{PC'B'}$

Vậy $C'P;B'N;A'M$ tương ứng là các đường phân giác của $\Delta A'B'C'$ nên $PC';MA';NB'$ đồng quy.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#3
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Ta sẽ chứng minh $ID=IB=IC$. Thật vậy, ta có $\widehat{IBD}=\widehat{IBC}+\widehat{CBP}=\widehat{IBC}+\widehat{DAC}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}}{2}$

Và $\widehat{BID}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\widehat{IBD}$ nên $\Delta IBD$ cân tại $D$ suy ra $IB=ID$

Chứng minh tương tự ta dược $IB=IC=ID$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$

Áp dụng công thức $S=\frac{abc}{4R}$ với $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: $\frac{IB.IC.BC}{S}=4.ID\Rightarrow \frac{2.IB.IC.BC}{BC.r}=4.ID\Rightarrow \frac{IB.IC}{ID}=2r$ 


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#4
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Ta sẽ chứng minh $ID=IB=IC$. Thật vậy, ta có $\widehat{IBD}=\widehat{IBC}+\widehat{CBP}=\widehat{IBC}+\widehat{DAC}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}}{2}$

Và $\widehat{BID}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\widehat{IBD}$ nên $\Delta IBD$ cân tại $D$ suy ra $IB=ID$

Chứng minh tương tự ta dược $IB=IC=ID$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$

Áp dụng công thức $S=\frac{abc}{4R}$ với $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: $\frac{IB.IC.BC}{S}=4.ID\Rightarrow \frac{2.IB.IC.BC}{BC.r}=4.ID\Rightarrow \frac{IB.IC}{ID}=2r$ 

thanks bro! 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#5
Beta Tester Thresh

Beta Tester Thresh

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Ta sẽ chứng minh $ID=IB=IC$. Thật vậy, ta có $\widehat{IBD}=\widehat{IBC}+\widehat{CBP}=\widehat{IBC}+\widehat{DAC}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}}{2}$

Và $\widehat{BID}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\widehat{IBD}$ nên $\Delta IBD$ cân tại $D$ suy ra $IB=ID$

Chứng minh tương tự ta dược $IB=IC=ID$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$

Áp dụng công thức $S=\frac{abc}{4R}$ với $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: $\frac{IB.IC.BC}{S}=4.ID\Rightarrow \frac{2.IB.IC.BC}{BC.r}=4.ID\Rightarrow \frac{IB.IC}{I}

Hình như phải là BD= ID= DC






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh