Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangngochai]

Cho x, y, z là 3 số thực dương LỚN HƠN 1 thỏa mãn: x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

$P = \frac{{y - 2}}{{x^2 }} + \frac{{z - 2}}{{y^2 }} + \frac{{x - 2}}{{z^2 }}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-05-2021 - 16:43

[Trung Kenneth]

Từ giả thiết $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

Ta có: $\frac{y-2}{x^2}= \frac{y-1}{x^2}+\frac{x-1}{x^2}-\frac{1}{x}$ $\Rightarrow \frac{y-2}{x^2}=(y-1).\frac{1}{x^2}+(x-1).\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$

Tương tự với các phân thức còn lại ta có: P$= (x-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2})+(y-1)(\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}) +(z-1).(\frac{1}{z^2}+\frac{1}{y^2})-(\sum \frac{1}{x})$

Áp dụng AM-GM : $P\geq \frac{2(x-1)}{zx}+\frac{2(y-1)}{xy}+\frac{2(z-1)}{yz}-\sum \frac{1}{x}=\sum \frac{1}{x}-2$

Có: $(\sum \frac{1}{x})^2\geq 3(\sum \frac{1}{xy})=3$

$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}-2$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$