Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm a để phương trình có nghiệm nguyên

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Hoangtheson2611

Hoangtheson2611

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 1 : Tìm các số nguyên a sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên : $x^{2}+a^{2}x+(a-1)=0$

Bài 2 : Giả sử a;b là 2 số nguyên dương đã cho , biết $\frac{a+b}{\sqrt{a.b}}$ là số nguyên dương. CMR : a=b



#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Bài 1 :  PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương 
Xét phương trình trên có $\Delta=a^4-4a+4$   
Xét $-3 \le a \le 1$ thì $a=-1,0,1$ thỏa 
Nếu $a$ không nằm trong khoảng đó thì $(a^2+1)^2>\Delta>(a^2-1)^2$ 
Suy ra $a=-1$ 
thử lại tất cả các giá trị trên thì thỏa mãn 
Bài 2 :  Để $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ là số nguyên dương thì $\sqrt{ab}$ phải là số chính phương. 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $d,x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Từ đó ta có $\sqrt{ab}=d\sqrt{xy}$ là số chính phương mà vì $gcd(x,y)=1$ nên điều này xảy ra khi $x=m^2,y=n^2$ trong đó $m,n \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(m,n)=1$
Khi đó ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{d(m^2+n^2)}{dmn}=\frac{m^2+n^2}{mn}$ 
Suy ra $m|(m^2+n^2)$ nên $m|n$ tương tự như vậy suy ra $n|m$ từ đó suy ra $m=n$ 
Suy ra $m=n=1$ từ đó suy ra $a=b=d$ (đpcm)



#3
Hoangtheson2611

Hoangtheson2611

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 435 Bài viết

Bài 1 :  PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương 
Xét phương trình trên có $\Delta=a^4-4a+4$   
Xét $-3 \le a \le 1$ thì $a=-1,0,1$ thỏa 
Nếu $a$ không nằm trong khoảng đó thì $(a^2+1)^2>\Delta>(a^2-1)^2$ 
Suy ra $a=-1$ 
thử lại tất cả các giá trị trên thì thỏa mãn 
Bài 2 :  Để $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ là số nguyên dương thì $\sqrt{ab}$ phải là số chính phương. 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $d,x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Từ đó ta có $\sqrt{ab}=d\sqrt{xy}$ là số chính phương mà vì $gcd(x,y)=1$ nên điều này xảy ra khi $x=m^2,y=n^2$ trong đó $m,n \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(m,n)=1$
Khi đó ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{d(m^2+n^2)}{dmn}=\frac{m^2+n^2}{mn}$ 
Suy ra $m|(m^2+n^2)$ nên $m|n$ tương tự như vậy suy ra $n|m$ từ đó suy ra $m=n$ 
Suy ra $m=n=1$ từ đó suy ra $a=b=d$ (đpcm)

gcd(a,b) là gì thế ạ ?



#4
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

gcd(a,b) là gì thế ạ ?

Ước chung lớn nhất đó em



#5
Botenlua1

Botenlua1

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

$-3\leq a\leq 1 ạ?$Bài 1 :  PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương 
Xét phương trình trên có $\Delta=a^4-4a+4$   
Xét $-3 \le a \le 1$ thì $a=-1,0,1$ thỏa 
Nếu $a$ không nằm trong khoảng đó thì $(a^2+1)^2>\Delta>(a^2-1)^2$ 
Suy ra $a=-1$ 
thử lại tất cả các giá trị trên thì thỏa mãn 
Bài 2 :  Để $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ là số nguyên dương thì $\sqrt{ab}$ phải là số chính phương. 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $d,x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Từ đó ta có $\sqrt{ab}=d\sqrt{xy}$ là số chính phương mà vì $gcd(x,y)=1$ nên điều này xảy ra khi $x=m^2,y=n^2$ trong đó $m,n \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(m,n)=1$
Khi đó ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{d(m^2+n^2)}{dmn}=\frac{m^2+n^2}{mn}$ 
Suy ra $m|(m^2+n^2)$ nên $m|n$ tương tự như vậy suy ra $n|m$ từ đó suy ra $m=n$ 
Suy ra $m=n=1$ từ đó suy ra $a=b=d$ (đpcm)

sao lại xét $-3\leq a\leq 1$ ạ



#6
Botenlua1

Botenlua1

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

gcd(a,b) là gì thế ạ ?

 

Bài 1 :  PT có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ và $\Delta$ là số chính phương 
Xét phương trình trên có $\Delta=a^4-4a+4$   
Xét $-3 \le a \le 1$ thì $a=-1,0,1$ thỏa 
Nếu $a$ không nằm trong khoảng đó thì $(a^2+1)^2>\Delta>(a^2-1)^2$ 
Suy ra $a=-1$ 
thử lại tất cả các giá trị trên thì thỏa mãn 
Bài 2 :  Để $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ là số nguyên dương thì $\sqrt{ab}$ phải là số chính phương. 
Đặt $d=gcd(a,b)$ suy ra $a=dx,b=dy$ trong đó $d,x,y \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(x,y)=1$ 
Từ đó ta có $\sqrt{ab}=d\sqrt{xy}$ là số chính phương mà vì $gcd(x,y)=1$ nên điều này xảy ra khi $x=m^2,y=n^2$ trong đó $m,n \in \mathbb{N^*}$ và $gcd(m,n)=1$
Khi đó ta có $\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{d(m^2+n^2)}{dmn}=\frac{m^2+n^2}{mn}$ 
Suy ra $m|(m^2+n^2)$ nên $m|n$ tương tự như vậy suy ra $n|m$ từ đó suy ra $m=n$ 
Suy ra $m=n=1$ từ đó suy ra $a=b=d$ (đpcm)

sao lại xét $-3 \leq a \leq 1$ ạ?



#7
Le Hoang Vu

Le Hoang Vu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

sao lại xét $-3 \leq a \leq 1$ ạ?

chịu đấy






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh