Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^2 +b^2 + c^2 + 2abc +1 \ge 2(ab+bc+ca) $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 06-03-2016 - 17:16

Cho a,b,c là các số thực dương: 
Chứng minh rằng : $a^2 +b^2 +c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ca) $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 06-03-2016 - 19:11


#2 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 06-03-2016 - 17:45

Cho a,b,c là các số thực : 
Chứng minh rằng : $a^2 +b^2 +c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ca) $

Bất đẳng thức sai với $a=b=c=-1$

 

Em(mình) nghĩ đề đúng là 

 

 

Cho a,b,c là các số thực dương: 
Chứng minh rằng: $a^2 +b^2 +c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ca) $

Ta thấy trong ba số thực dương $a;b;c$ luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng $1$ hoặc nhỏ hơn hay bằng $1$. Giả sử đó là $b$ và $c$.

Khi đó ta có: $(b-1)(c-1) \geq 0 \Leftrightarrow bc \geq b+c-1$ suy ra $2abc \geq 2ab+2ac-2a$

Do đó, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1 \geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac-2a+1$

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac-2a+1 \geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a^{2}-2a+1)+(b^{2}+c^{2}-2bc) \geq 0 \Leftrightarrow (a-1)^{2}+(b-c)^{2} \geq 0$ (đúng)

Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 06-03-2016 - 17:45


#3 mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hải Dương

Đã gửi 06-03-2016 - 17:57

Cho a,b,c là các số thực : 
Chứng minh rằng : $a^2 +b^2 +c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab+bc+ca) $

những bài áp dụng bđt  trên cho các số thực dương 

1. $xyz+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8 \geq 5(x+y+z)$

2.$xyz+ x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3 (x+y+z)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathstu: 06-03-2016 - 17:59

Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 


#4 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 06-03-2016 - 18:19

những bài áp dụng bđt  trên cho các số thực dương 

1. $xyz+2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+8 \geq 5(x+y+z)$

2. $xyz+ x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3 (x+y+z)$

2. Ta thấy trong ba số thực dương $x;y;z$ luôn tồn tại hai số cùng nhỏ hơn hay bằng $1$ hoặc lớn hơn hay bằng $1$. Giả sử đó là $x$ và $y$

Khi đó ta có: $(x-1)(y-1) \geq 0 \Leftrightarrow xy \geq x+y-1$ suy ra $xyz \geq zx+yz-z$

Do đó, $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 \geq zx+yz-z+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5$

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh $zx+yz-z+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 \geq 3(x+y+z)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+z-2)^{2}+\frac{1}{2}(y+z-2)^{2}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})-(x+y) \geq 0(*)$

Mặt khác, ta lại có: $\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) \geq \frac{1}{4}(x+y)^{2} \geq x+y$

Nên $(*)$ đúng. Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

1. Áp dụng BĐT$.2$ và các BĐT sau:
$x^{2}+1 \geq 2x$
$y^{2}+1 \geq 2y$

$z^{2}+1 \geq 2z$

Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức lại ta có BĐT$.1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ 



#5 huyenthoaivip1

huyenthoaivip1

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô- Vĩnh Phúc .Trường THPT Sáng Sơn

Đã gửi 02-01-2019 - 20:47

2. Ta thấy trong ba số thực dương $x;y;z$ luôn tồn tại hai số cùng nhỏ hơn hay bằng $1$ hoặc lớn hơn hay bằng $1$. Giả sử đó là $x$ và $y$

Khi đó ta có: $(x-1)(y-1) \geq 0 \Leftrightarrow xy \geq x+y-1$ suy ra $xyz \geq zx+yz-z$

Do đó, $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 \geq zx+yz-z+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5$

Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh $zx+yz-z+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5 \geq 3(x+y+z)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+z-2)^{2}+\frac{1}{2}(y+z-2)^{2}+\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})-(x+y) \geq 0(*)$

Mặt khác, ta lại có: $\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}) \geq \frac{1}{4}(x+y)^{2} \geq x+y$

Nên $(*)$ đúng. Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

1. Áp dụng BĐT$.2$ và các BĐT sau:
$x^{2}+1 \geq 2x$
$y^{2}+1 \geq 2y$

$z^{2}+1 \geq 2z$

Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức lại ta có BĐT$.1$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh