Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^3+abc}{b+c}+\frac{b^3+abc}{c+a}+\frac{c^3+abc}{a+b}\geq a^2+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
RealCielo

RealCielo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

1,Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a+2}+\frac{2007}{2008+b}\leq \frac{c+1}{2007+c}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=(a+1)(b+1)(c+1)$

2,Cho x>1,y>2,z>3 và $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}= 2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}> \sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}$

3,Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR: $\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$

4,Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$\frac{a^3+abc}{b+c}+\frac{b^3+abc}{c+a}+\frac{c^3+abc}{a+b}\geq a^2+b^2+c^2$



#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
4,Cho a,b,c là các số dương.CMR:

$\frac{a^3+abc}{b+c}+\frac{b^3+abc}{c+a}+\frac{c^3+abc}{a+b}\geq a^2+b^2+c^2$

 

Cách 1. Bất đẳng thức trên tương đương với

\[\sum \left(\frac{a^3+abc}{b+c}-a^2\right) \geqslant 0,\]

\[\sum \frac{a(a-b)(a-c)}{b+c} \geqslant 0. \quad (1)\]

Bất đẳng thức $(1)$ đúng theo bất đẳng thức Vonicur - Schur.

 

Cách 2. Ta cũng đưa bài toán về chứng minh

\[\frac{a(a-b)(a-c)}{b+c}+\frac{b(b-c)(b-a)}{c+a}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a+b}\geqslant 0,\]

hay là

\[\frac{(a-b)^2(a^2+ab+b^2-c^2)}{(b+c)(c+a)}+\frac{c(c-a)(c-b)}{a+b}\geqslant 0. \quad (2)\]

Do tính đối xứng của bài toán nên ta có thể giả sử $c=\min\{a,b,c\}$ để suy ra $(2)$ đúng. Bài toán được chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 06-03-2016 - 20:26

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
meomunsociu

meomunsociu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết

2,Cho x>1,y>2,z>3 và $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}= 2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}> \sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}$

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz ta có: 

$(\frac{x-1}{x}+\frac{y-2}{y}+\frac{z-3}{z})(x+y+z)\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3})^2$

Từ gt suy ra $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}$

Dấu "=" ko xảy ra nên $\sqrt{x+y+z}> \sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}$ (ĐPCM)






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh