Chủ đề này có 3 trả lời

[RealCielo]

1,Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})$

2,Cho các số thực $a,b,c\geq 1$ thỏa mãn a+b+c+2=abc.Chứng minh:

$bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

3,Cho $x\geq 0, y\geq 0$ và $x+y=1$.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 

$P=x^4+y^4+x^3+y^3+x^2+y^2+2xy$

4,Cho a,b,c là các số dương.Tìm min:

$P=\frac{(a+b+c)^2}{30(a^2+b^2+c^2)}+\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\frac{131(a^2+b^2+c^2)}{60(ab+bc+ca)}$

[Kim Vu]

1,Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})$

2,Cho các số thực $a,b,c\geq 1$ thỏa mãn a+b+c+2=abc.Chứng minh:

$bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}abc$

3,Cho $x\geq 0, y\geq 0$ và $x+y=1$.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 

$P=x^4+y^4+x^3+y^3+x^2+y^2+2xy$

4,Cho a,b,c là các số dương.Tìm min:

$P=\frac{(a+b+c)^2}{30(a^2+b^2+c^2)}+\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\frac{131(a^2+b^2+c^2)}{60(ab+bc+ca)}$

3.

$P=x^4+y^4+x^3+y^3+x^2+y^2+2xy$

$= (x^4+y^4)+(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)^2$

$=(x^4+y^4)+2-3xy\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}+2-3\frac{(x+y)^2}{4}\geq \frac{(x+y)^4}{8}+2-\frac{3}{4}=\frac{11}{8}$

Từ giả thiết ta có $xy \geq 0$

$x^2+y^2=1-2xy \leq 1$

P=$(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+2-3xy \leq 3$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kim Vu: 08-03-2016 - 20:50

[quoccuonglqd]

1/Bất đẳng thức tương đương

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geqslant \frac{\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{2}}+\sum \frac{b^{2}-a^{2}}{a+b}$

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geqslant \frac{\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{2}}$

Áp dụng AM-GM $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+a+b+c\geqslant \sqrt{2} \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Lại có $\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}}\geqslant \sqrt{2}(a+b+c)$

Từ đây ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 10-03-2016 - 07:43

[quangtq1998]

4,Cho a,b,c là các số dương.Tìm min:
$P=\frac{(a+b+c)^2}{30(a^2+b^2+c^2)}+\frac{a^3+b^3+c^3}{4abc}-\frac{131(a^2+b^2+c^2)}{60(ab+bc+ca)}$

Vì biểu thức đồng bậc nên không mất tính tổng quát, coi :$ a+b+c = 1$
 
$P = \frac{1}{30(a^2+b^2+c^2)}+ \frac{1-3(ab+bc+ca)}{4abc}-\frac{131}{60(ab+bc+ca)} +\frac{307}{60} $

 

 

Lại có        $ 9abc \leq (a+b+c)(ab+bc+ca) = ab+bc+ca$
Nên

 

$P \ge \frac{1}{30(a^2+b^2+c^2)} + \frac{1}{30(ab+bc+ca)}+\frac{1}{30(ab+bc+ca)} +\frac{-49}{30} $

 

$\ge \frac{9}{30(a+b+c)^2} +\frac{-49}{30}=\frac{-3}{4} $

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$