Đến nội dung

Hình ảnh

$[n\sqrt{2}]+[n\sqrt{2}]$ là một số lẻ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

1.Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n$ nguyên dương sao cho $[n\sqrt{2}]$ là một lũy thừa của $2$

2.Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n$ nguyên dương sao cho $[n\sqrt{2}]+[n\sqrt{3}]$ là một số lẻ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 08-03-2016 - 20:07

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#2
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

1.Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n$ nguyên dương sao cho $[n\sqrt{2}]$ là một lũy thừa của $2$

Lời giải. Ta sẽ đi chứng minh kết quả mạnh hơn: Với mọi $x \in \mathbb{N}$ luôn tồn tại $n \in \mathbb{N}$ sao cho $\left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor = 2^x$.

Ta sẽ chứng minh kết quả bằng quy nạp. Thật vậy, với $x=0$ thì $n=1$.

Giả sử kết quả quy nạp đúng với $k$, tức tồn tại $n_k$ thoả $\left \lfloor n_k \sqrt 2 \right \rfloor = 2^{k}$, ta cần chứng minh tồn tại $n_{k+1}$ thoả $$\left \lfloor n_{k+1} \sqrt 2 \right \rfloor = 2^{k+1}=2 \left \lfloor n_k \sqrt 2 \right \rfloor .$$

Đặt $n_{k+1}=n_k+d$ thì $$\left \lfloor n_{k+1} \sqrt 2 \right \rfloor = \left \lfloor n_k \sqrt 2 \right \rfloor + \left \lfloor d \sqrt 2 + \left \{ n_k \sqrt 2 \right \} \right \rfloor .$$

Như vậy, ta cần chọn $d$ sao cho $\left \lfloor d \sqrt 2+ \left \{ n_k \sqrt 2 \right \} \right \rfloor = \left \lfloor n_k \sqrt 2 \right \rfloor$ hay $n_k \sqrt 2 \le d\sqrt 2 + \left \{ n_k \sqrt 2 \right \} < n_k \sqrt 2 +1$ hay $2^k \le d \sqrt 2 < 2^k+1$.

Hiển nhiên luôn tồn tại $d$ như thế, vì nếu không, gọi $d_0$ là số lớn nhất thoả mãn $d_0 \sqrt 2 \le 2^k$ thì $d_0 \sqrt 2 \le 2^k<2^k+1< (d_0+1) \sqrt 2$, điều này hiển nhiên mâu thuẫn.

 

Vậy theo quy nạp, kết quả được chứng minh.  $\blacksquare$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#3
Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

 

2.Chứng minh rằng tồn tại vô số số $n$ nguyên dương sao cho $[n\sqrt{2}]+[n\sqrt{3}]$ là một số lẻ 

+Ta thấy $[(n+1)\sqrt{2}]-[n\sqrt{2}]=1or2$ và $[(n+1)\sqrt{3}]-[n\sqrt{3}]=1or2$

+Giả sử đcm là sai thì sẽ tồn tại $N$ đủ lớn để từ đó trở đi thì $[n\sqrt{2}]+[n\sqrt{3}]$ là chẵn

suy ra là $[(n+1)\sqrt{3}]+[(n+1)\sqrt{2}]-[n\sqrt{3}]-[n\sqrt{2}]$ là chẵn

 

mà $[(n+1)\sqrt{3}]+[(n+1)\sqrt{2}]-[n\sqrt{3}]-[n\sqrt{2}]=2or3or4$ nên $[(n+1)\sqrt{3}]+[(n+1)\sqrt{2}]-[n\sqrt{3}]-[n\sqrt{2}]=2or4$

 

+Do đó $[(n+1)\sqrt{2}]-[n\sqrt{2}]=[(n+1)\sqrt{3}]-[n\sqrt{3}]=1or2$

 

tt :      $[(n+2)\sqrt{2}]-[(n+1)\sqrt{2}]=[(n+2)\sqrt{3}]-[(n+1)\sqrt{3}]=1or2$

...

          $[(n+c)\sqrt{2}]-[(n+c-1)\sqrt{2}]=[(n+c)\sqrt{3}]-[(n+c-1)\sqrt{3}]=1or2$

 

+Cộng lại ta được: $[(n+c)\sqrt{2}]-[n\sqrt{2}]=[(n+c)\sqrt{3}]-[n\sqrt{3}]$

 

+Mặt khác $[(n+c)\sqrt{2}]-[n\sqrt{2}]< (n+c)\sqrt{2}-n\sqrt{2}+1= c\sqrt{2}+1$

 

và     $[(n+c)\sqrt{3}]-[n\sqrt{3}]> (n+c)\sqrt{3}-1-n\sqrt{3}= c\sqrt{3}-1$ 

 

nên là $c\sqrt{2}+1> c\sqrt{3}-1\Rightarrow 2> c(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

 

+chọn $c$ đủ lớn thì vô lí và ta có $đpcm$

p/s: hơi xấu =.=


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 09-03-2016 - 00:43

__________

Bruno Mars


#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Mới kiểm lại thì thấy lời giải mình đưa trên là sai, vì kết quả mạnh hơn đó không đúng. Một ví dụ là $45\sqrt 2< 64< 46 \sqrt 2$. Xin đưa ra lời giải mới cho bài 1.

 

Lời giải. Xét một số $n$ nguyên dương sao cho $\left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor = 2^k$. Ta sẽ chứng minh tồn tại số $m>n$ sao cho $\left \lfloor m \sqrt 2 \right \rfloor = 2^l$. Thật vậy, ta viết $m$ dưới dạng $2^ln-d$ với $l,d \in \mathbb{N}$. Khi đó $$\left \lfloor m \sqrt 2 \right \rfloor = 2^l \left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor + \left \lfloor 2^l \left \{ n \sqrt 2 \right \} - d\sqrt 2 \right \rfloor = 2^{k+l}+ \left \lfloor 2^l \left \{ n \sqrt 2 \right \} - d\sqrt 2 \right \rfloor.$$

Như vậy ta sẽ tìm cách đi chọn $d,l$ sao cho $\left \lfloor 2^l \left \{ n \sqrt 2 \right \} - d\sqrt 2 \right \rfloor=0$ hay $\frac{d \sqrt 2}{2^l} \le \left \{ n \sqrt 2 \right \} < \frac{d \sqrt 2+1}{2^l}$.

 

Để ý rằng

\begin{equation} \label{pt1} \frac{(2d+1)\sqrt 2}{2^{l+1}} <\frac{d \sqrt 2+1}{2^l} < \frac{(2d+1) \sqrt 2+1}{2^{l+1}}. \end{equation}

 

Do đó, ta bắt đầu từ $(d_1,l_1)=(0,1)$ và cộng dần $(d_i,l_i)=(2d_{i-1}+1,l_{i-1}+1)$ cho tới khi tồn tại $x$ ($x$ luôn tồn tại suy từ \eqref{pt1}) thoả $$\frac{d_x\sqrt 2+1}{2^{l_x}} \le \left \{ n \sqrt 2 \right \} < \frac{(2d_x+1) \sqrt 2+1}{2^{l_x+1}}.$$

Cũng từ \eqref{pt1} thì ta dẫn đến $$\frac{(2d_x+1)\sqrt 2 }{2^{l_x+1}}< \left \{ n \sqrt 2 \right \} < \frac{(2d_x+1)\sqrt 2+1}{2^{l_x+1}}.$$

Như vậy ta chỉ cần chọn $d=2d_x+1, l=l_x+1$ hay luôn tồn tại $m>n$ thoả mãn $\left \lfloor m \sqrt 2 \right \rfloor = 2^l$ hay tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $\left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor$ là luỹ thừa của $2$.     $\blacksquare$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh