Mới kiểm lại thì thấy lời giải mình đưa trên là sai, vì kết quả mạnh hơn đó không đúng. Một ví dụ là $45\sqrt 2< 64< 46 \sqrt 2$. Xin đưa ra lời giải mới cho bài 1.
Lời giải. Xét một số $n$ nguyên dương sao cho $\left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor = 2^k$. Ta sẽ chứng minh tồn tại số $m>n$ sao cho $\left \lfloor m \sqrt 2 \right \rfloor = 2^l$. Thật vậy, ta viết $m$ dưới dạng $2^ln-d$ với $l,d \in \mathbb{N}$. Khi đó $$\left \lfloor m \sqrt 2 \right \rfloor = 2^l \left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor + \left \lfloor 2^l \left \{ n \sqrt 2 \right \} - d\sqrt 2 \right \rfloor = 2^{k+l}+ \left \lfloor 2^l \left \{ n \sqrt 2 \right \} - d\sqrt 2 \right \rfloor.$$
Như vậy ta sẽ tìm cách đi chọn $d,l$ sao cho $\left \lfloor 2^l \left \{ n \sqrt 2 \right \} - d\sqrt 2 \right \rfloor=0$ hay $\frac{d \sqrt 2}{2^l} \le \left \{ n \sqrt 2 \right \} < \frac{d \sqrt 2+1}{2^l}$.
Để ý rằng
\begin{equation} \label{pt1} \frac{(2d+1)\sqrt 2}{2^{l+1}} <\frac{d \sqrt 2+1}{2^l} < \frac{(2d+1) \sqrt 2+1}{2^{l+1}}. \end{equation}
Do đó, ta bắt đầu từ $(d_1,l_1)=(0,1)$ và cộng dần $(d_i,l_i)=(2d_{i-1}+1,l_{i-1}+1)$ cho tới khi tồn tại $x$ ($x$ luôn tồn tại suy từ \eqref{pt1}) thoả $$\frac{d_x\sqrt 2+1}{2^{l_x}} \le \left \{ n \sqrt 2 \right \} < \frac{(2d_x+1) \sqrt 2+1}{2^{l_x+1}}.$$
Cũng từ \eqref{pt1} thì ta dẫn đến $$\frac{(2d_x+1)\sqrt 2 }{2^{l_x+1}}< \left \{ n \sqrt 2 \right \} < \frac{(2d_x+1)\sqrt 2+1}{2^{l_x+1}}.$$
Như vậy ta chỉ cần chọn $d=2d_x+1, l=l_x+1$ hay luôn tồn tại $m>n$ thoả mãn $\left \lfloor m \sqrt 2 \right \rfloor = 2^l$ hay tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $\left \lfloor n \sqrt 2 \right \rfloor$ là luỹ thừa của $2$. $\blacksquare$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).