http://dientuvietnam...a_1;a_2;...;a_n là http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n số thực thỏa mãn
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=1;2...;n và http://dientuvietnam...1 a_2 .. a_n=0.
a) Chứng minh rằng tồn tại http://dientuvietnam...mimetex.cgi?n>2 thì đánh giá ở câu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?a là tốt nhất.
Nhìn lại các bài toán của Rumani TST 2006
#2
Đã gửi 12-06-2006 - 22:33
lehoan
-
- Hiệp sỹ
-
- 1213 Bài viết
Tiến sĩ diễn đàn toán
Đặt http://dientuvietnam... 2a_2 ... ka_k.
Giả sử giả thiết của bài toán không đúng.
Khi đó ta có hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k}<-\dfrac{2k+1}{4} hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k}>\dfrac{2k+1}{4} với mọi http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k.
Không mất tổng quát ta coi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S-1>\dfrac{3}{4}. Khi đó bằng quy nạp ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k}>\dfrac{2k+1}{4} với mọi http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Thật vậy ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?k=1 đúng.
Giả sử đã đúng tới http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Ta có nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k+1}<-\dfrac{2k+1}{4} thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-(k+1)a_{k+1}>k+1 Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{k+1}<-1. ( Mâu thuẫn).
Vậy ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_k>\dfrac{2k+1}{4} với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=1,2...,n.
Bây giờ ta chứng minh điều này không thể xảy ra.
Thật vậy ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=\sum\limits_{i=1}^{n}ia_i\dfrac{1}{i}.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=\sum\limits_{k_1}^{n-1}S_k(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1})+S_n\dfrac{1}{n}>0 ( Do http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_k>0 với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k) Mâu thuẫn. ĐPCM.
Tổng Abel
Với mọi hai bộ số thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,...,a_n,b_1,...,b_n.
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_k=a_1+a_2+...+a_k. Ta có :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i=\sum\limits_{k=1}^{n}S_k(b_k-b_{k+1})+S_nb_n
Giả sử giả thiết của bài toán không đúng.
Khi đó ta có hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k}<-\dfrac{2k+1}{4} hoặc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k}>\dfrac{2k+1}{4} với mọi http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k.
Không mất tổng quát ta coi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S-1>\dfrac{3}{4}. Khi đó bằng quy nạp ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k}>\dfrac{2k+1}{4} với mọi http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Thật vậy ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?k=1 đúng.
Giả sử đã đúng tới http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Ta có nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_{k+1}<-\dfrac{2k+1}{4} thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-(k+1)a_{k+1}>k+1 Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_{k+1}<-1. ( Mâu thuẫn).
Vậy ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_k>\dfrac{2k+1}{4} với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=1,2...,n.
Bây giờ ta chứng minh điều này không thể xảy ra.
Thật vậy ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=\sum\limits_{i=1}^{n}ia_i\dfrac{1}{i}.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?=\sum\limits_{k_1}^{n-1}S_k(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1})+S_n\dfrac{1}{n}>0 ( Do http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_k>0 với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k) Mâu thuẫn. ĐPCM.
Tổng Abel
Với mọi hai bộ số thực http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_1,a_2,...,a_n,b_1,...,b_n.
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S_k=a_1+a_2+...+a_k. Ta có :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i=\sum\limits_{k=1}^{n}S_k(b_k-b_{k+1})+S_nb_n
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
