Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=2$. Chứng minh :
1) $\sum \sqrt{a+4bc} \ge 4\sqrt{ab+bc+ca}$
2) $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}$
Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=2$. Chứng minh :
1) $\sum \sqrt{a+4bc} \ge 4\sqrt{ab+bc+ca}$
2) $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}$
Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=2$. Chứng minh :
2) $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}$
Ta viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất như sau
\[(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2(a+b+c) \geqslant 8(ab+bc+ca).\]
Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có
\[(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^3.\]
Như vậy ta chỉ cần chứng minh
\[(a+b+c)^4 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca).\]
Điều này luôn đúng vì ta có
\[(a+b+c)^4 = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2\geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca).\]
Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi trong ba số có hai số bằng nhau, số còn lại bằng $0.$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh