Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{a+4bc} \ge 4\sqrt{ab+bc+ca}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
A piece of life

A piece of life

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=2$. Chứng minh : 

 

1) $\sum \sqrt{a+4bc} \ge 4\sqrt{ab+bc+ca}$

 

2) $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}$



#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho $a,b,c \ge 0$ và $a+b+c=2$. Chứng minh : 

2) $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \ge 2\sqrt{ab+bc+ca}$

 

Ta viết bất đẳng thức lại dưới dạng thuần nhất như sau

\[(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2(a+b+c) \geqslant 8(ab+bc+ca).\]

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có

\[(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^3.\]

Như vậy ta chỉ cần chứng minh

\[(a+b+c)^4 \geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca).\]

Điều này luôn đúng vì ta có

\[(a+b+c)^4  = [a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2\geqslant 8(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca).\]

Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi trong ba số có hai số bằng nhau, số còn lại bằng $0.$


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh