Chủ đề này có 2 trả lời

[ngocdz9apro]

Cho x,y,z >0 sao cho x³+y³+z³=3

Chứng minh $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\geq xy+yz+xz$

[quoccuonglqd]

Bất đẳng thức tương đương

$(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}})^{3}.3xyz\geqslant 3xyz.(xy+yz+xz)^{3}$

Áp dụng C-S $(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}})^{3}.3xyz\geqslant (x+y+z)^{4}$

Ta cần chưng minh $(a+b+c)^{4}\geqslant 3xyz.(xy+yz+zx)^{3}$

Đúng từ 

$x+y+z\geqslant xy+yz+zx$($(x+y+z)^{2}\geqslant 3(xy+yz+zx)\geqslant (x+y+z)(xy+yz+zx)$)

$3xyz\leqslant 3\sqrt[3]{xyz}\leqslant x+y+z$($xyz\leqslant 1$)

[ngocdz9apro]

Um