Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Giải hệ PT:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2} \\ \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \end{matrix}\right.$

p/s: đây là bài trong đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#2
Issac Newton of Ngoc Tao

Issac Newton of Ngoc Tao

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 756 Bài viết

Giải hệ PT:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2} \\ \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \end{matrix}\right.$

p/s: đây là bài trong đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa

Mình mở màn vậy:

Ta có; $PT(1)\Rightarrow \frac{2b^{2}}{a}+\sqrt{\frac{a^{2}-2b^{2}}{2}}=\frac{a+2b}{2}(a=x+y;b=\sqrt{xy}(b\geq 0))\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^{2}-2b^{2}}{2}}=\frac{a^{2}+2ab-4b^{2}}{2a}\Leftrightarrow \frac{a^{2}-2b^{2}}{2}=\frac{a^{4}+4a^{2}b^{2}+16b^{4}+4a^{3}b-16ab^{3}-8a^{2}b^{2}}{4a^{2}}\Leftrightarrow a^{4}-16b^{4}-4a^{3}b+16ab^{3}=0\Leftrightarrow a=2b\vee a=-2b$

TH1:$a=2b\Rightarrow x+y=2\sqrt{xy}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y\geq 0 & \\ (\sqrt{x}-\sqrt{y})=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y$

Đến đây thay vào phương trình dưới ta có: $\sqrt[3]{9x^{2}+9x+9}+2\sqrt[3]{6x^{2}+2}=3x+4\Leftrightarrow x+2-\sqrt[3]{9x^{2}+9x+9}+2(x+1)-2\sqrt[3]{6x^{2}+2}\Leftrightarrow (x-1)^{3}(\frac{1}{A}+\frac{2}{B})=0\Leftrightarrow x=y=1(t/m)$

TH2:$a=-2b\Rightarrow x+y\leq 0\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=0\Leftrightarrow (\sqrt{-x}-\sqrt{-y})^{2}=0\Leftrightarrow x=y$

Trường hợp này giải tương tự.. :lol:  :like 


"Attitude is everything"


#3
robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Giải hệ PT:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2} \\ \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \end{matrix}\right.$

p/s: đây là bài trong đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa

dk: x,y>0 hoặc x,y<0 

$(1)<=>\frac{(x-y)^2}{2(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy})}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$

<=>x=y (*)

hoặc $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y,(**)$

xét (**), có : $+ x,y<0=>\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}>0>x+y,(loai)$

                  + x,y>0=> $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y=> x+y\geq 2\sqrt{xy}=>(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$

DTXR khi và chỉ khi : $\left\{\begin{matrix} & x=y\\ & (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0 \end{matrix}\right.=>x=y$

   thay x=y vào (2), có :

$\sqrt[3]{9x^2+9x+9}+2\sqrt[3]{6x^2+2}=3x+4$ (3)
ta có $x^2+x+1\geq 0 \forall x\in DK$
khi đó , xét (3):
$3x+4=\sqrt[3]{9x^2+9x+9}+2\sqrt[3]{6x^2+2}\leq \frac{x^2+x+7}{3}+x^2+3=>4(x-1)^2\geq 0$
DTXR khi và chỉ khi: 
$\left\{\begin{matrix} & x^2+x+1=3 & \\ & 3x^2+1=4& \\ & (x-1)^2=0& \end{matrix}\right.=>x=1$
=>x=y=1 (tmdk)
thử lại nhận nghiệm x=y=1
:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 


#4
thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

$3x+4=\sqrt[3]{9x^2+9x+9}+2\sqrt[3]{6x^2+2}\leq \frac{x^2+x+7}{3}+x^2+3=>4(x-1)^2\geq 0$

 

Đến đây có suy ra được gì đâu bạn

dùng cosi là sai rồi


Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#5
robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Đến đây có suy ra được gì đâu bạn

dùng cosi là sai rồi

t chỉ rút gọn bước làm thôi bạn. để dùng bdt thì phải cm điều mình giả thuyết đúng .  t đã dùng cauchy thì t phải c/m suy luận t đúng. bạn quy đồng lên sẽ thấy ngay điều t suy ra, đánh máy lâu nên t rút bước làm, nếu thi trình bày ngắn vầy tạch là xác định  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh